일산동고2수학과외, 제한구간에서 삼각함수의 최댓값과 최솟값 찾기
일산동에서 학교 수업과 방과 후 이동을 마친 뒤 확보한 자습시간에는 삼각함수 그래프를 넓게 그리는 것보다, 주기와 진폭을 확인한 다음 주어진 구간 안의 후보를 빠짐없이 비교하는 연습이 필요하다. 일산고등학교와 신일비즈니스고등학교가 일산동에 있고, 주엽고등학교·일산동고등학교·덕이고등학교는 같은 일산서구의 참고 학교이므로 학교별 위치를 혼동하지 않으면서도, 제한된 시간 안에 풀이의 판단 순서를 분명히 남기는 것이 중요하다.
끝점 π를 빼면 최솟값이 사라진다
문제에서 다음 함수의 최댓값과 최솟값을 구한다고 하자.
f(x)=2cos x+1, 0≤x≤π
cos x의 주기는 2π이고 진폭은 1이다. 따라서 이 함수의 주기는 2π, 진폭은 2이며, 세로 방향으로 1만큼 이동한 그래프이다. 그러나 이 정보만으로 구간의 최댓값과 최솟값을 결정할 수는 없다. 실제로 주어진 구간이 0≤x≤π 전체를 포함하는지 확인해야 한다.
이 구간에서 cos x는 1에서 -1까지 감소한다. 따라서 양 끝점을 직접 대입하면
f(0)=2cos 0+1=3
f(π)=2cos π+1=-1
최댓값은 3, 최솟값은 -1이다. 최솟값은 x=π에서 실제로 얻어진다.
잘못된 줄과 수정한 줄의 기호 하나
풀이 흔적에는 다음과 같은 줄이 남아 있었다.
잘못된 줄: -1<cos x≤1
수정한 줄: -1≤cos x≤1
두 줄에서 달라진 기호는 < → ≤ 하나다. x=π이면 cos x=-1이므로 -1이라는 값은 제외할 수 없다. 끝점을 포함하는 구간에서는 경계값을 반드시 후보로 넣어야 하며, 이 조건을 빠뜨리면 함수의 최솟값도 잘못 판단하게 된다.
이 사례는 진폭만 보고 최댓값과 최솟값을 적는 방식의 한계를 보여준다. f(x)=2cos x+1의 전체 범위는 -1≤f(x)≤3이지만, 제한구간에서 실제로 양 끝값이 모두 나타나는지는 구간에 0과 π가 포함되는지에 달려 있다.
짧은 식에서도 구간 표시를 먼저 남기기
연습할 때는 계산 전에 다음 세 줄을 답안에 적는다.
- 주기: cos x의 주기는 2π
- 구간: 0≤x≤π
- 후보: x=0, x=π
그 뒤 cos 0=1, cos π=-1을 대입하면 함수값 비교가 끝난다. 그래프가 구간 안에서 한 번의 감소를 보인다는 사실을 알고 있어도, 끝점 포함 여부를 식으로 남겨야 최솟값 후보가 누락되지 않는다.
조건을 바꾼 짧은 확인 문제
다음 문제에서는 같은 식을 반복하지 않고 계수와 구간을 바꾼다.
g(x)=-3sin x+2, -π/2≤x≤π/2
이 구간에서 sin x의 값의 범위는 -1≤sin x≤1이다. 따라서
-3≤-3sin x≤3
양변에 2를 더하면
-1≤g(x)≤5
실제로 sin x=-1은 x=-π/2에서, sin x=1은 x=π/2에서 얻어진다. 그러므로 g(x)의 최솟값은 -1, 최댓값은 5이다. 음의 계수를 곱할 때 부등호 방향이 바뀌는 것과 두 끝점이 모두 구간에 포함되는 것을 함께 확인해야 한다.
이 짧은 문제에서도 구간을 먼저 읽고, 진폭에 의한 범위를 만든 뒤, 끝점에서 해당 값이 실제로 발생하는지 확인했다면 계산을 생략해도 조건을 놓치지 않은 것으로 판단할 수 있다.