일산동고1수학과외, ‘선택 후 배치’를 조합×순열로 읽는 법
일산동 생활권에서 학교 수업과 방과후 이동을 마친 뒤 짧은 자습시간을 활용할 때는, 경우의 수 문제의 조건을 식으로 옮기는 과정이 중요하다. 특히 “먼저 사람을 고른 뒤, 그 사람들을 자리에 배치한다”는 구조를 조합과 순열로 나누어 읽어야 한다.
선택과 배치가 이어지는 문제
8명의 학생 중 3명을 뽑아 발표자로 정하고, 뽑힌 3명을 발표 순서대로 배치한다고 하자. 발표자 집합을 고르는 단계에서는 순서를 고려하지 않으므로
₈C₃
이고, 선택된 3명의 순서를 정하는 단계에서는 순서를 고려하므로
₃P₃ = 3!
이다. 따라서 전체 경우의 수는
₈C₃ × ₃! = 56 × 6 = 336
이다. 여기서 조합은 ‘누가 선택되는가’를, 순열은 ‘선택된 사람이 어떤 순서로 배치되는가’를 나타낸다.
계산보다 먼저 남겨야 할 한 줄
관찰된 답안에서는 조합과 순열의 차이를 적지 않고 곧바로 ₈C₃ + ₃!을 계산하려 했다. 이 식은 두 단계를 이어서 수행하는 상황에서 곱해야 할 값을 더한 것이므로 적절하지 않다. 선택한 결과마다 3명의 배치가 새롭게 가능하므로 곱셈이 필요하다.
문제 속 ‘선택 후 배치’ 구조 → 조합 × 순열
풀이를 시작하기 전에 이 문장을 적으면 선택 단계와 배열 단계를 분리할 수 있다. 틀린 줄을 고친 뒤에도 같은 판단을 다시 적어, 계산 결과만 수정하고 구조는 놓치는 상황을 막는다.
두 단계가 실제로 곱해지는 이유
예를 들어 선택된 세 명이 민수, 지연, 현우라면 발표 순서는 6가지이다.
(민수, 지연, 현우), (민수, 현우, 지연), (지연, 민수, 현우), (지연, 현우, 민수), (현우, 민수, 지연), (현우, 지연, 민수)
이처럼 선택된 한 집합마다 6개의 배치가 대응한다. 선택 집합이 56개이므로 56개의 경우 각각에 6개씩 배치가 생겨 56 × 6이 된다. 반대로 ‘회장·부회장·서기’를 처음부터 정하는 문제라면 세 직책의 순서와 역할이 구분되므로 바로 ₈P₃으로 계산할 수 있다.
풀이 전후 확인을 학습 행동으로 만들기
일산고등학교나 신일비즈니스고등학교에서 귀가한 뒤, 또는 일산신도시 생활권에서 방과후 이동을 마친 뒤 확보한 짧은 시간에는 긴 문제 묶음보다 풀이의 표시를 남기는 연습이 효율적이다. 문제를 읽자마자 다음 두 위치에 구조를 기록한다.
- 풀이 시작 전: 선택 대상과 배치 대상을 구분하고 ‘조합 × 순열’을 적는다.
- 계산을 고친 뒤: 실제 식이 ₈C₃ × ₃P₃인지 다시 대조한다.
이 기록은 정답을 맞혔는지와 별개로, 학생이 문제의 순서를 스스로 해석했는지를 보여준다.
표로 바꾼 자료에서 조건 읽기
같은 판단을 새로운 형식에서도 확인하기 위해 수행평가 자료를 지필형 문제로 바꾸어 제시할 수 있다. 먼저 표에 나타난 두 양의 변화 관계를 읽게 한다. 예를 들어
x: 1, 2, 3, 4
y: 5, 10, 15, 20
이면 y = 5x이므로 정비례이다. 반대로
x: 1, 2, 3, 6
y: 36, 18, 12, 6
이면 각 곱이 xy = 36으로 일정하므로 반비례이다. 표의 변화를 읽고 식과 그래프가 정비례인지 반비례인지 혼자 결정하게 하되, 경우의 수 문제에서는 다시 ‘선택 후 배치’라는 조건 표시를 남기는지 함께 본다. 형식이 표에서 글 문제로 바뀌어도 조건을 먼저 표시하는 행동이 유지되어야 한다.