일산동고3수학과외

일산동 고3수학과외: 정적분 함수의 변화율을 부호표로 확인하기

일산동에서 방과후 이동 후 확보한 자습시간에 정적분 문제를 풀던 학생은 계산 자체보다 함수와 원 integrand의 관계를 놓치고 있었다. 일산고등학교와 신일비즈니스고등학교가 지역 내 학교로 확인되며, 주엽고등학교·일산동고등학교·덕이고등학교는 같은 일산서구 내 참고 학교이므로 구분해 학습 동선을 계획할 필요가 있다. 일산신도시 생활권에서 이동을 마친 뒤 짧은 시간에 풀이 근거를 정리하는 연습이 적합했다.

정적분으로 정의된 함수의 변화율

다음 함수의 증가·감소를 조사한다고 하자.

F(x)=∫₀^x(t²-4)dt,　-3≤x≤3

학생은 계산 중 다음과 같이 적었다.

F′(x)=∫₀^x(t²-4)dt

이 식은 틀렸다. 위 적분은 F(x) 자체이므로 F′(x)=F(x)가 되는 것이 아니다. 미적분학의 기본정리에 따라 상한이 x인 정적분의 변화율은 integrand에 x를 대입한 값이다.

F′(x)=x²-4=(x-2)(x+2)

따라서 먼저 F′(x)=0이 되는 지점 x=-2, 2를 표시하고 구간별 부호를 확인해야 한다.

• -3≤x<-2: F′(x)>0이므로 증가
• -2<x<2: F′(x)<0이므로 감소
• 2<x≤3: F′(x)>0이므로 증가

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, “F는 적분으로 정의됨 → F′는 integrand → 그 식의 부호로 증가·감소 판단”이라는 세 단계 관계를 옆에 적었다. 원함수도 확인하면

F(x)=x³/3-4x

이고, F(-2)=16/3, F(2)=-16/3이다. 실제로 F는 x=-2에서 증가에서 감소로 바뀌어 극대, x=2에서 감소에서 증가로 바뀌어 극소가 된다. 변화율의 부호와 계산한 함수값의 흐름이 일치하는지 대입으로 검산했다.

계수를 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.

G(x)=∫₂^x(t²-6t+5)dt,　0≤x≤6

이번에는

G′(x)=x²-6x+5=(x-1)(x-5)

이므로 영점은 1과 5이다. 부호를 나누면 [0,1)과 (5,6]에서는 증가하고, (1,5)에서는 감소한다. 특히

G(5)-G(1)=∫₁⁵(t²-6t+5)dt<0

이므로 1에서 5로 갈 때 함수값이 감소한다. 학생은 적분값을 무작정 계산하기 전에 원 integrand의 영점, 부호, 구간을 먼저 표시하고, 마지막에 증가·감소 결론과 구간의 방향을 대조해 풀이를 완성했다.