덕이동 고2수학과외에서 삼각함수 그래프의 이동을 다시 읽는 법
덕이고등학교와 백송고등학교가 있는 덕이동에서는 방과후 이동 시간 뒤 확보한 자습 시간에 삼각함수 그래프의 식과 위치를 함께 점검할 수 있다. 하이파크시티2단지나 덕이동문아파트 생활권에서 학교 프린트를 정리할 때도 계수와 괄호 안의 부호를 분리해 읽는 습관이 필요하다.
y=sin(x-π/2)를 왼쪽으로 옮긴 풀이
문제에서 y=sin(x-π/2)의 그래프를 해석하게 하자, 답안에 “원래 그래프를 왼쪽으로 π/2만큼 이동한다”라고 적은 경우가 있었다. 이 판단은 부호를 반대로 읽은 것이다. 기준 그래프 y=sin x에서 x 대신 x-π/2를 넣으면 그래프는 오른쪽으로 π/2 이동한다.
이를 점으로 확인하면 원래 그래프의 점 (0, 0)은 새로운 그래프에서
x-π/2=0일 때 나타나므로 x=π/2이다. 따라서 (0, 0)은 (π/2, 0)으로 이동한다. 실제로 sin(π/2-π/2)=sin 0=0이므로 오른쪽 이동이 맞다.
점근선 대신 중심선과 기준점을 확인하기
사인함수에는 로그함수처럼 점근선을 그리는 것이 아니라, 그래프의 중심선 y=d, 진폭, 주기, 기준점의 이동을 확인해야 한다. 일반식
y=a sin b(x-c)+d
에서 c는 가로 이동, d는 세로 이동을 나타낸다. 예를 들어
y=-2sin(2x+π)+1
은 괄호를 먼저
2x+π=2(x+π/2)
로 바꾼다. 따라서 기준 그래프 y=sin x에 대해 왼쪽으로 π/2 이동하고, 세로로 1만큼 올린 뒤, 진폭은 2이며 주기는 2π/2=π이다. 앞의 - 부호 때문에 위아래가 뒤집힌다. 중심선은 y=1이지 점근선이 아니다.
두 조건만 바꾼 변형에서 이동량 다시 계산하기
이번에는
y=cos(x+π/3)-2
를 보자. x+π/3=x-(-π/3)이므로 그래프는 왼쪽으로 π/3 이동하고, 중심선은 y=-2이다. 사인에서 코사인으로 바뀌었다고 해서 이동 규칙을 새로 외우는 것이 아니라, 괄호를 x-c 꼴로 만든 뒤 c를 읽어야 한다.
풀이 뒤에는 이동을 역으로 적용한다. y=cos(x+π/3)-2에서 세로 이동을 되돌리면 y+2=cos(x+π/3), 가로 이동을 되돌리면 x+π/3을 x로 복원할 수 있다. 이 과정이 원래 기준식 y=cos x로 돌아가는지 확인하면 부호를 거꾸로 읽었는지 드러난다.
덕이동 생활권 자습에서 확인할 독립 문제
다음 식의 그래프를 기준 그래프와 비교해 보자.
y=3sin(x-π/4)+2
정답을 쓰기 전에 답안에 다음 네 가지를 직접 표시한다.
- 가로 이동: 오른쪽으로 π/4
- 세로 이동: 위로 2
- 진폭: 3
- 중심선: y=2
이때 y=sin x의 점 (0,0)은 (π/4,2)로 이동한 뒤 진폭에 따라 기준점의 높이가 조정된다. 식에 x=π/4를 대입하면 y=3sin0+2=2이므로 중심선 위를 지나야 한다. 숫자와 함수가 바뀌어도 괄호를 x-c 꼴로 정리하고, 중심선과 대입값을 함께 확인하는지가 판단 기준이다.