덕이동 고3 수학과외에서 다룬 속도 부호와 이동거리
덕이동에서 덕이고등학교, 백송고등학교, 고양예술고등학교로 통학한 뒤 자습하는 학생은 식으로만 제시된 속도 문제에서 그래프의 모양을 먼저 떠올리는 습관이 있었다. 하이파크시티2단지와 현충공원 주변 생활권에서 이동한 뒤 공부하는 시간에는 계산보다 속도의 부호와 구간을 나누는 기준을 먼저 확인하도록 풀이 순서를 바꾸었다.
속도의 영점이 구간을 나누는 기준
속도가 v(t)=t^2-4t+3이고 0≤t≤4일 때, 위치 변화량은
∫₀⁴v(t)dt=∫₀⁴(t²-4t+3)dt
로 계산한다. 그러나 이동거리는 속도의 부호가 바뀌는 지점을 기준으로 나누어야 한다. 인수분해하면
v(t)=(t-1)(t-3)
이므로 속도의 영점은 t=1, 3이다. 부호는 다음과 같다.
- 0≤t≤1에서 v(t)≥0
- 1≤t≤3에서 v(t)≤0
- 3≤t≤4에서 v(t)≥0
따라서 이동거리는
∫₀¹v(t)dt-∫₁³v(t)dt+∫₃⁴v(t)dt
이다. 각 값을 계산하면
∫₀¹v(t)dt=4/3, ∫₁³v(t)dt=-4/3, ∫₃⁴v(t)dt=1/3
이므로 전체 이동거리는 4/3+4/3+1/3=3이다. 반면 위치의 최종 변화량은 1/3이므로 두 값을 혼동하면 안 된다.
틀린 줄을 표시하고 역계산으로 고치기
학생의 오답: 이동거리 = ∫₀⁴(t²-4t+3)dt=1/3
이 식은 이동거리가 아니라 출발점에서 도착점까지의 위치 변화량이다. 학생은 속도식의 두 영점 1, 3을 확인하지 않고, 이전에 보았던 한 번만 부호가 바뀌는 그래프처럼 구간을 나누지 않았다.
먼저 틀린 줄에 표시한 뒤, v(t)=0을 직접 풀어 t=1,3을 찾는다. 그다음 끝점 옆에 [0,1], [1,3], [3,4]의 포함 여부를 적고, 각 구간의 대표값을 대입한다. 예를 들어 v(2)=4-8+3=-1이므로 가운데 구간은 음수다. 따라서 정확한 식은
∫₀¹|v(t)|dt+∫₁³|v(t)|dt+∫₃⁴|v(t)|dt
=∫₀¹v(t)dt-∫₁³v(t)dt+∫₃⁴v(t)dt=3
이다. 마지막으로 각 구간의 위치 변화를 역으로 더해 4/3-4/3+1/3=1/3이 되는지 확인하여 이동거리와 변위를 구별했다.
조건을 바꾼 독립 검증
새 문제에서는 속도를
w(t)=(t+1)(t-2)(t-4), -1≤t≤5
로 바꾸었다. 영점은 -1,2,4이므로 구간은 [-1,2], [2,4], [4,5]로 나누어야 한다. 끝점 t=-1은 범위에 포함되고, 각 영점도 해당 구간의 경계로 포함된다.
대표값을 대입하면 w(0)=8>0, w(3)=-4<0, w(5)=18>0이다. 따라서 이동거리는
∫₋₁²w(t)dt-∫₂⁴w(t)dt+∫₄⁵w(t)dt
로 설정해야 한다. 학생은 이번에는 그래프를 그리지 않고도 영점을 먼저 찾고, 부호표와 구간 분할을 통해 두 번의 방향 전환을 반영했다. 식을 다른 형태로 제시해도 속도 영점, 부호, 구간, 절댓값의 순서를 재현하는지 확인하는 단계까지 이어졌다.