덕이동고1수학과외

덕이동고1수학과외: 중복조합과 조합을 가르는 허용 조건

덕이고등학교, 백송고등학교, 고양예술고등학교가 있는 덕이동 생활권에서 방과후 이동 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 답을 많이 쓰기보다 선택 조건을 먼저 판별하는 연습이 필요하다. 같은 일산서구의 주엽고등학교와 일산동고등학교는 참고 학교일 뿐 덕이동 소재 학교와는 구분된다.

계산식보다 먼저 읽어야 할 문장

중복조합과 일반 조합의 차이는 선택한 대상을 다시 고를 수 있는지에 있다. 서로 다른 과일 5종에서 3개를 고르되 같은 종류를 여러 번 골라도 된다면 중복조합이므로

H₅³ = C_5+3-1³ = C₇³ = 35

이다. 반대로 5명의 학생 중 대표 3명을 뽑는다면 한 사람을 두 번 뽑을 수 없으므로 일반 조합

C₅³ = 10

을 사용한다. 대상의 이름이 사람인지 물건인지는 기준이 아니며, 문제의 허용 조건이 기준이다.

정답만 덮어쓴 순간 사라진 판단

학교 프린트에서 “서로 다른 음료 6종 중 4개를 선택한다. 같은 음료를 여러 개 선택할 수 있다”라는 문항을 다룰 때, 학생은 처음에 C₆⁴를 적었다. 답지를 본 뒤에는 그 줄에 표시하지 않고 정답 숫자만 덮어썼다. 혼자 다시 풀 때도 ‘중복 선택 가능’이라는 조건을 말로 확인하지 않은 채 곧바로 계산식부터 적었다.

이 문항의 정확한 식은

H₆⁴ = C_6+4-1⁴ = C₉⁴ = 126

이다. 잘못된 C₆⁴ = 15는 일반 조합을 적용한 학생의 오답이며, 계산 실수로 볼 수 없다. ‘같은 음료를 여러 개 선택할 수 있다’는 허용 조건을 빠뜨린 것이 오류가 발생한 정확한 지점이다.

오답 줄에 조건을 되돌려 놓기

수정할 때는 식을 지우고 새 답을 적는 대신, 식 바로 왼쪽에 조건을 짧게 표시한다.

• 재선택 가능: 중복조합
• 재선택 불가: 일반 조합

이후 문항의 대상과 선택 개수를 각각 대응시킨다. 음료 6종에서 4개를 고르는 경우에는 종류별 선택 개수를 x₁, x₂, …, x₆이라 두면

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + x₅ + x₆ = 4

이고 각 변수는 0 이상이다. 따라서 별과 막대의 원리에 따라 C₉⁴가 나온다. 반면 6명 중 4명을 뽑는 문제는 각 사람을 최대 한 번만 선택하므로 이런 중복을 허용하는 식을 세우지 않고 C₆⁴를 사용한다.

조건을 하나 늘린 문항에서 다시 확인하기

훈련 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건을 바꾼 문항을 제시한다.

서로 다른 과자 7종에서 3개를 고른다. 같은 종류를 여러 개 고를 수 있지만, 초콜릿 과자는 반드시 1개 이상 포함한다.

먼저 중복 선택이 가능하므로 전체 선택 수는 H₇³ = C₉³ = 84이다. 초콜릿 과자를 하나도 고르지 않는 경우는 나머지 6종에서 3개를 중복 선택하는 H₆³ = C₈³ = 56가지다. 따라서 조건을 만족하는 경우는

84 - 56 = 28

가지다. 이때 학생이 계산 전에 ‘중복 선택 가능’과 ‘초콜릿 과자 1개 이상’이라는 두 조건을 직접 표시하고, 일반 조합인 C₇³로 시작하지 않는지 확인한다. 오류가 발생한 줄을 정확히 지목하면서 조건 판별을 먼저 수행한다면 이전 훈련을 유지할 수 있다.