덕이동고1수학과외: 중복조합과 조합을 가르는 허용 조건
덕이고등학교, 백송고등학교, 고양예술고등학교가 있는 덕이동 생활권에서 방과후 이동 뒤 확보한 짧은 자습시간에는 답을 많이 쓰기보다 선택 조건을 먼저 판별하는 연습이 필요하다. 같은 일산서구의 주엽고등학교와 일산동고등학교는 참고 학교일 뿐 덕이동 소재 학교와는 구분된다.
계산식보다 먼저 읽어야 할 문장
중복조합과 일반 조합의 차이는 선택한 대상을 다시 고를 수 있는지에 있다. 서로 다른 과일 5종에서 3개를 고르되 같은 종류를 여러 번 골라도 된다면 중복조합이므로
H53 = C5+3-13 = C73 = 35
이다. 반대로 5명의 학생 중 대표 3명을 뽑는다면 한 사람을 두 번 뽑을 수 없으므로 일반 조합
C53 = 10
을 사용한다. 대상의 이름이 사람인지 물건인지는 기준이 아니며, 문제의 허용 조건이 기준이다.
정답만 덮어쓴 순간 사라진 판단
학교 프린트에서 “서로 다른 음료 6종 중 4개를 선택한다. 같은 음료를 여러 개 선택할 수 있다”라는 문항을 다룰 때, 학생은 처음에 C64를 적었다. 답지를 본 뒤에는 그 줄에 표시하지 않고 정답 숫자만 덮어썼다. 혼자 다시 풀 때도 ‘중복 선택 가능’이라는 조건을 말로 확인하지 않은 채 곧바로 계산식부터 적었다.
이 문항의 정확한 식은
H64 = C6+4-14 = C94 = 126
이다. 잘못된 C64 = 15는 일반 조합을 적용한 학생의 오답이며, 계산 실수로 볼 수 없다. ‘같은 음료를 여러 개 선택할 수 있다’는 허용 조건을 빠뜨린 것이 오류가 발생한 정확한 지점이다.
오답 줄에 조건을 되돌려 놓기
수정할 때는 식을 지우고 새 답을 적는 대신, 식 바로 왼쪽에 조건을 짧게 표시한다.
- 재선택 가능: 중복조합
- 재선택 불가: 일반 조합
이후 문항의 대상과 선택 개수를 각각 대응시킨다. 음료 6종에서 4개를 고르는 경우에는 종류별 선택 개수를 x1, x2, …, x6이라 두면
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 4
이고 각 변수는 0 이상이다. 따라서 별과 막대의 원리에 따라 C94가 나온다. 반면 6명 중 4명을 뽑는 문제는 각 사람을 최대 한 번만 선택하므로 이런 중복을 허용하는 식을 세우지 않고 C64를 사용한다.
조건을 하나 늘린 문항에서 다시 확인하기
훈련 뒤에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라 조건을 바꾼 문항을 제시한다.
서로 다른 과자 7종에서 3개를 고른다. 같은 종류를 여러 개 고를 수 있지만, 초콜릿 과자는 반드시 1개 이상 포함한다.
먼저 중복 선택이 가능하므로 전체 선택 수는 H73 = C93 = 84이다. 초콜릿 과자를 하나도 고르지 않는 경우는 나머지 6종에서 3개를 중복 선택하는 H63 = C83 = 56가지다. 따라서 조건을 만족하는 경우는
84 - 56 = 28
가지다. 이때 학생이 계산 전에 ‘중복 선택 가능’과 ‘초콜릿 과자 1개 이상’이라는 두 조건을 직접 표시하고, 일반 조합인 C73로 시작하지 않는지 확인한다. 오류가 발생한 줄을 정확히 지목하면서 조건 판별을 먼저 수행한다면 이전 훈련을 유지할 수 있다.