대화동고2수학과외, 삼각함수 그래프의 평행이동을 계산 줄에서 바로잡기
대화동의 대화고등학교, 주엽고등학교, 일산대진고등학교처럼 학교별 과제와 시험 준비 순서가 달라도 삼각함수 그래프에서는 같은 장면이 자주 나타난다. 귀가 후 문제를 풀 때 식의 괄호 안 부호와 기준점의 위치를 따로 기록하지 않으면 그래프는 그럴듯하게 그려도 이동 방향이 틀어진다.
x-π/2를 보고 왼쪽으로 옮긴 오답
다음 식의 그래프를 생각해 보자.
y=sin(x-π/2)
풀이 여백에 다음과 같은 문장이 남아 있었다.
“y=sin(x-π/2)는 왼쪽으로π/2이동한다.”
이 판단은 부호를 거꾸로 읽은 것이다. 기본 그래프 y=sin x에서 기준점 (0,0)이 이동한 위치를 확인하면 방향을 바로 판별할 수 있다.
x-π/2=0이 되는 x=π/2에서 함수값은 0이다. 따라서 원래 그래프의 기준점 (0,0)은 (π/2,0)으로 이동한다. 그러므로 그래프는 오른쪽으로 π/2만큼 평행이동한다.
괄호 안을 0으로 만드는 값부터 표시하기
평행이동 문제에서는 식 전체를 외우기보다 괄호 안의 입력값이 0이 되는 위치를 찾는다.
y=sin(x-a)에서
x-a=0 → x=a
이므로 기본 그래프의 원점에 해당하는 점이 (a,0)으로 간다. 반대로
y=sin(x+a)=sin(x-(-a))
라면 x=-a에서 괄호가 0이 되므로 왼쪽으로 a만큼 이동한다.
앞의 오답을 고칠 때는 문장을 지우는 데서 끝내지 않고, 식 옆에 다음 두 줄을 남긴다.
x-π/2=0 → x=π/2
(0,0) → (π/2,0), 오른쪽 π/2 이동
이렇게 기준점의 새 좌표를 계산하면 그래프의 시작 위치를 잘못 찍는 오류도 함께 줄어든다. 예를 들어 y=sin(x-π/2)에서는 x=π/2일 때 0을 지나고, x=π일 때 1이므로 꼭짓점은 (π,1)에 놓인다.
부호가 바뀐 식에서 이동 방향 확인하기
이제 조건을 바꾸어 다음 식을 독립적으로 확인한다.
y=sin(x+π/3)
괄호 안을 0으로 만들면
x+π/3=0 → x=-π/3
따라서 y=sin x를 왼쪽으로 π/3만큼 이동한 그래프다. 기준점은 (-π/3,0)이고, 사인값이 1이 되는 다음 위치는
x+π/3=π/2 → x=π/6
이므로 꼭짓점은 (π/6,1)이다.
마지막 답안에는 “+이므로 왼쪽”이라고만 적지 않고, x+π/3=0을 먼저 세웠는지 확인한다. 식의 부호가 바뀌어도 기준점을 직접 계산해 그래프 위치를 설명할 수 있어야 평행이동 판단이 유지된다.