대화동 고3 수학과외에서 이동거리 오답을 고치는 방법
대화동 대화마을과 원시티1단지 생활권에서 귀가 후 과제와 시험 준비를 병행하는 고3 학생은 속도·이동거리 문제를 풀 때 해설의 정답만 확인하는 습관이 있었다. 특히 계산 결과보다 먼저 속도의 부호가 바뀌는 시점과 구간을 확인해야 하지만, 방향 전환을 찾지 않아 넓이의 부호를 잘못 처리했다.
방향 전환점을 누락한 오답
속도가 다음과 같이 주어진다고 하자.
v(t) = t² - 4t + 3 = (t - 1)(t - 3), 0 ≤ t ≤ 5
학생은 속도 그래프와 시간축의 교점인 t = 1, t = 3을 계산했지만, 구간을 나누지 않고 다음처럼 적었다.
이동거리 = ∫₀⁵ v(t)dt = [t³/3 - 2t² + 3t]₀⁵ = 20/3
이 식은 이동거리의 오답이다. 정적분값 20/3은 방향을 포함한 변위이지, 이동한 전체 거리와 같지 않다. v(t)는 0≤t<1에서 양수, 1<t<3에서 음수, 3<t≤5에서 다시 양수이다. 따라서 t=1과 t=3에서 움직임의 방향이 바뀌며, 속도 그래프와 시간축 사이의 넓이는 구간별로 절댓값을 취해야 한다.
처음 모순된 줄부터 다시 계산하기
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 네모칸에 먼저 다음 조건을 적었다.
- 교점: t=1, t=3
- 허용 범위: 0≤t≤5
- 부호: [0,1] 양수, [1,3] 음수, [3,5] 양수
원시함수를 F(t)=t³/3-2t²+3t라 하면 F(0)=0, F(1)=4/3, F(3)=0, F(5)=20/3이다. 따라서 변위는
∫₀⁵v(t)dt = 4/3 - 4/3 + 20/3 = 20/3
이지만 이동거리는 음수 구간을 뒤집어
∫₀⁵|v(t)|dt = ∫₀¹v(t)dt - ∫₁³v(t)dt + ∫₃⁵v(t)dt
= 4/3 + 4/3 + 20/3 = 28/3
이다. 학생은 마지막에 각 구간의 넓이를 다시 더해 28/3이 나오는지 확인하고, 변위 20/3과 이동거리 28/3을 구분했다. 또한 속도 부호표를 그래프로 옮겨 t=1과 t=3에서 실제로 방향이 바뀌는지도 검산했다.
경계와 부호가 달라진 문제로 확인하기
같은 풀이를 반복하지 않고 다음 조건으로 바꾸어 검증했다.
v(t)=t²-6t+5=(t-1)(t-5), 0≤t≤6
교점은 t=1, 5이고, 부호는 [0,1]에서 양수, [1,5]에서 음수, [5,6]에서 양수이다. 원시함수는 F(t)=t³/3-3t²+5t이며
- F(0)=0
- F(1)=7/3
- F(5)=-25/3
- F(6)=-6
이때 변위는 F(6)-F(0)=-6이고, 이동거리는
7/3 + 32/3 + 7/3 = 46/3
이다. 새 문제에서도 경계 0과 6 안에 교점 1과 5가 모두 포함되는지 확인한 뒤 구간을 나누었고, 음수 속도 구간의 넓이를 양수로 바꾸어 계산했다. 이처럼 대화동 고3 수학과외 학습에서는 정답을 다시 보는 것보다 교점, 허용 범위, 부호 변화, 역계산을 차례로 확인하는 습관이 이동거리 오답을 줄이는 핵심이 된다.