대화동고1수학과외: ‘적어도 한 명’ 조건을 여사건으로 바꾸는 법
대화고등학교, 주엽고등학교, 일산대진고등학교의 프린트와 과제를 귀가 후 확인할 때 경우의 수와 확률 문제가 섞여 나오면, ‘적어도 한 명 포함’이라는 표현을 먼저 찾아야 한다. 대화마을이나 대화동동문3단지에서 이동한 뒤 짧은 시간에 문제를 풀 때도 계산보다 조건 해석을 먼저 고정해야 한다.
계산은 맞았지만 구하려는 사건이 달랐던 풀이
빨간 카드 2장과 파란 카드 3장이 들어 있는 상자에서 카드를 2장 연속으로 꺼낼 때, 빨간 카드가 적어도 한 장 나올 확률을 구해 보자. 카드는 꺼낸 뒤 다시 넣지 않는다.
학생의 답안에는 다음 식이 적혀 있었다.
빨간 카드가 적어도 한 장 나올 확률 = 3/5 × 2/4 = 3/10
이 계산은 빨간 카드가 아니라 파란 카드가 두 번 나올 확률이다. 중간 곱셈 자체는 맞지만, 원래 조건인 ‘적어도 한 장의 빨간 카드’를 다시 대조하지 않은 채 다음 계산으로 넘어간 것이다. 답안 여백에도 조건을 여사건으로 바꾸었는지 표시한 흔적이 없었다.
‘적어도 한 장’을 먼저 반대 사건으로 읽기
빨간 카드가 적어도 한 장 나오는 사건의 반대는 ‘빨간 카드가 한 장도 나오지 않는 사건’, 즉 파란 카드만 2장 나오는 경우이다.
따라서
파란 카드만 2장 나올 확률은
3/5 × 2/4 = 3/10
이고, 구하려는 확률은 그 여사건을 1에서 빼서
1 − 3/10 = 7/10
이 된다. 조합으로 확인해도 전체 경우는 ₅C₂ = 10가지, 파란 카드만 고르는 경우는 ₃C₂ = 3가지이므로 빨간 카드가 적어도 한 장 포함되는 경우는 10 − 3 = 7가지이다. 확률은 7/10으로 일치한다.
답안에 빠진 줄을 찾아 그 자리부터 고쳐 쓰기
이 학생에게는 풀이를 처음부터 여러 번 베껴 쓰게 하지 않고, 조건 확인이 빠진 위치에 표시하게 한다. 먼저 ‘적어도 한 장 포함’에 밑줄을 긋고, 그 아래에 다음 한 줄을 작성한다.
적어도 한 장의 빨간 카드가 나옴의 여사건 = 빨간 카드가 한 장도 나오지 않음 = 파란 카드만 2장 나옴
그 후에 1 − 3/10을 계산한다. 마지막에는 계산 결과가 원래 사건의 범위에 맞는지 확인한다. 빨간 카드가 적어도 한 장 나오는 경우가 파란 카드만 나오는 경우보다 많으므로 7/10이 3/10보다 큰 것도 점검할 수 있다.
표의 제목과 전체 수를 먼저 읽는 변형 확인
새 문제에서는 남학생 5명, 여학생 4명 중 4명을 뽑을 때 여학생이 적어도 한 명 포함될 확률을 구하게 한다. 학생이 바로 계산하지 않고 표의 제목과 단위, 전체 인원과 조건에 맞는 제외 경우를 읽는지 본다.
여학생이 한 명도 포함되지 않는 경우는 남학생 5명 중 4명을 고르는 경우이므로
1 − ₅C₄ / ₉C₄ = 1 − 5/126 = 121/126
이다. 전체 경우 ₉C₄ = 126에서 제외되는 경우가 ₅C₄ = 5이므로, 여학생이 적어도 한 명 포함되는 경우는 121가지다. 표·그래프의 배치나 제목이 달라져도 ‘전체에서 조건을 만족하지 않는 부분을 뺀다’는 관계를 설명하면, 중2 과정으로 넘어가기 전 중1에서 배운 여사건의 의미를 스스로 설명할 수 있는지 기록한다.