가좌동고2수학과외에서 확인한 삼각함수 평행이동의 기준
가좌고등학교의 시험 범위와 수행평가 준비를 평일 귀가 시간에 맞춰 나누다 보면, 삼각함수 그래프 문제에서 식의 모양만 빠르게 바꾸는 풀이가 나타나기도 한다. 특히 평행이동에서는 이동 방향을 판별하기 전에 주기와 진폭을 따로 적지 않아 그래프의 보존 조건을 놓치기 쉽다.
진폭과 주기는 이동해도 그대로 남는다
기본 그래프 y=sin x를 좌우로 이동한 식은 다음과 같이 쓴다.
y=sin(x-a)는 오른쪽으로 a만큼, y=sin(x+a)는 왼쪽으로 a만큼 이동한 그래프다.
이때 평행이동만 일어났으므로 진폭은 여전히 1, 주기는 2π이다. 따라서 답안에 주기와 진폭을 함께 표시하지 않으면 그래프가 원래 함수와 어떤 성질을 공유하는지 확인하기 어렵다.
y=sin(x-π/2)의 방향을 대입으로 판별하기
풀이에서 y=sin(x-π/2)를 왼쪽으로 π/2 이동했다고 적었다면 방향이 뒤집힌 것이다. 괄호 안의 식이 0이 되는 점을 보면 판단할 수 있다.
x-π/2=0일 때 x=π/2이고, 이 점에서 함수값은 0이다. 기본 함수 y=sin x의 원점의 특징이 오른쪽으로 이동한 것이므로 정확한 설명은 “오른쪽으로 π/2 이동”이다.
반대로 왼쪽으로 π/2 이동한 식은 y=sin(x+π/2)이다. 실제로 x=0을 대입하면 sin(π/2)=1이므로 원점의 최대값이 왼쪽에 나타난다.
이동 방향과 보존되는 값을 한 줄에 남기기
그래프를 그리기 전 답안에 다음 세 항목을 순서대로 기록한다.
- 괄호 안이
x-a인지x+a인지 확인한다. - 수평 이동 방향과 크기를 적는다.
- 진폭과 주기를 원래 값과 비교해 남긴다.
따라서 위 식은 y=sin(x-π/2)에 대해 “오른쪽으로 π/2 이동, 진폭 1, 주기 2π”라고 정리한다. 마지막으로 x=π/2를 대입해 함수값이 0인지 확인하면 방향 오류를 즉시 걸러낼 수 있다.
계수가 커져도 먼저 보존 조건을 읽는지 확인하기
다음 식으로 풀이 순서를 바꿔 확인한다.
y=4sin(3(x+7π/6))-2
괄호 안이 x+7π/6이므로 그래프는 왼쪽으로 7π/6 이동한다. 앞의 계수 때문에 진폭은 4, 주기는 2π/3이며, 바깥의 -2는 아래로 2만큼 이동시킨다. 계수가 커졌다고 이동 방향을 계산으로 바꾸는 것이 아니라, 괄호·앞 계수·바깥 상수를 각각 분리해 읽어야 한다.
x=-7π/6을 넣으면 괄호 안이 0이 되어 y=-2가 된다. 이 대입 결과까지 확인했다면 수평 이동, 진폭, 주기, 수직 이동이 식과 일치하는지 독립적으로 검증한 것이다.