가좌동고3수학과외

가좌동 고3수학과외에서 이동거리와 변위를 구분하는 연습

가좌동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 가좌고등학교 시험 범위와 수행평가 일정, 평일 귀가 시간을 함께 고려해 오답이 반복되는 단원을 짧게 나누어 점검하고 있다. 같은 일산서구의 주엽고등학교, 일산동고등학교 등은 참고 생활권으로만 구분하고, 학교별 일정은 실제 공지된 범위 안에서 확인하도록 계획했다.

속도의 부호를 확인하지 않고 적분한 오답

다음과 같이 시간에 따른 속도가 주어졌다고 하자.

v(t)=t²-4t+3=(t-1)(t-3),  0≤t≤4

학생은 이동거리를 구하면서 다음과 같이 계산했다.

이동거리=∫₀⁴v(t)dt=4/3

이 식은 이동거리가 아니라 변위를 구한 것이므로 오답이다. 속도는 t=1, 3에서 부호가 바뀐다. 0≤t<1과 3<t≤4에서는 v(t)>0이고, 1<t<3에서는 v(t)<0이다. 음의 속도는 이동하지 않았다는 뜻이 아니라 반대 방향으로 움직였다는 뜻이다.

부호가 바뀌는 지점부터 구간을 나눈 수정

학생은 틀린 줄에 표시한 뒤 인수분해로 속도의 부호를 확인하고, 이동거리에서는 음의 구간의 적분값을 양수로 바꾸었다.

F(t)=∫v(t)dt=t³/3-2t²+3t
F(0)=0,  F(1)=4/3,  F(3)=0,  F(4)=4/3

따라서 변위는

∫₀⁴v(t)dt=F(4)-F(0)=4/3

이지만 이동거리는

∫₀¹v(t)dt-∫₁³v(t)dt+∫₃⁴v(t)dt
=4/3-(-4/3)+4/3=4

계산 뒤에는 각 구간의 위치 변화를 다시 확인했다. 위치는 0에서 4/3까지 이동하고, 다시 0으로 돌아온 뒤, 4/3까지 이동하므로 전체 이동거리는 4, 최종 변위는 4/3이다.

조건을 바꾼 독립 검증

새로운 속도를 사용해 같은 절차를 처음부터 적용했다.

v(t)=t²-6t+8=(t-2)(t-4),  1≤t≤5

부호가 바뀌는 시각은 2와 4이다. 원시함수는 F(t)=t³/3-3t²+8t이고, 다음 값이 나온다.

F(1)=16/3,  F(2)=20/3,  F(4)=16/3,  F(5)=20/3

따라서 새 문제의 이동거리는

∫₁²v(t)dt-∫₂⁴v(t)dt+∫₄⁵v(t)dt
=4/3-(-4/3)+4/3=4

변위는 F(5)-F(1)=4/3이다. 학생은 숫자와 영점이 달라져도 먼저 부호 변화 지점을 찾고, 구간별 적분을 합친 뒤 변위와 비교하는 순서를 유지했다.