가좌동고1수학과외, 남녀 배열에서 자리와 사람을 나누는 판단
가좌고등학교 프린트의 경우의 수 문제를 풀 때, 학생이 식을 바로 계산하기보다 먼저 “무엇을 정해야 하는가”를 표시하는 과정이 필요하다. 가좌동에서 학교 수업과 귀가 후 학습 시간을 함께 조정할 때도 남녀 조건 배열 문제는 계산량보다 배열의 기준을 먼저 세우는 연습에 초점을 둔다.
숫자부터 계산하면 조건의 대상이 사라진다
예를 들어 남학생 4명과 여학생 3명을 일렬로 세울 때, 여학생끼리 붙지 않도록 배열하는 문제를 생각해 보자. 학생의 답안에는 곧바로 7!을 적은 뒤, 남녀 조건을 따로 반영하지 않은 흔적이 있었다. 이는 구할 대상과 주어진 조건을 나누지 않고 전체 사람을 한 번에 배열한 경우다.
이 문제에서는 먼저 남학생 4명을 배열한다. 그 결과는 4!가지이고, 남학생 사이와 양끝에 생기는 자리는 다음처럼 5곳이다.
□ 남 □ 남 □ 남 □ 남 □
여학생 3명이 서로 붙지 않으려면 이 5자리 중 3자리를 고른 뒤 여학생을 배치해야 한다. 따라서 경우의 수는
4! × ₅C₃ × 3! = 24 × 10 × 6 = 1440
이다. 여기서 핵심 판단은 남학생을 먼저 배열할지, 여학생이 들어갈 자리를 먼저 정할지 문제의 조건에 맞춰 선택하는 것이다. 여학생 사이의 인접을 막는 조건이므로 남학생을 먼저 놓아 빈자리를 만드는 방식이 자연스럽다.
‘자리 고정’과 ‘사람 고정’은 조건에 따라 달라진다
반대로 남학생 4명과 여학생 3명을 일렬로 세우되, 양끝을 반드시 여학생이 차지해야 한다면 자리를 먼저 보는 편이 효율적이다. 양끝 2자리에 여학생을 배치하는 경우는
3P2 = 3 × 2 = 6
가지이고, 남은 가운데 5자리에 남학생 4명과 남은 여학생 1명을 배열하는 경우는 5!가지이다. 따라서 전체는
3P2 × 5! = 6 × 120 = 720
가지다. 같은 ‘남녀 배열’이라도 조건이 여학생의 인접 금지인지, 특정 성별의 자리 고정인지에 따라 기준이 달라진다. 사람을 먼저 배열할지 자리를 먼저 정할지는 계산 전에 조건의 대상을 확인한 뒤 결정해야 한다.
답안에 남겨야 할 한 줄
현재 학생은 남녀 조건을 다시 확인하지 않고 다음 계산으로 넘어가며, 답안에도 선택 근거를 남기지 않았다. 이를 고치기 위해 계산 시작 전에 다음 중 하나를 문장으로 쓰게 한다.
- “여학생이 붙지 않아야 하므로 남학생을 먼저 배열해 빈자리를 만든다.”
- “양끝이라는 자리가 지정되어 있으므로 양끝에 들어갈 여학생부터 정한다.”
그 뒤 실제 계산을 진행하고, 각 인수가 무엇을 뜻하는지 말하게 한다. 예를 들어 ₅C₃은 여학생이 들어갈 자리 선택, 3!은 선택된 자리에 여학생을 배치하는 경우라고 설명해야 한다. 숫자만 맞히는 것이 아니라 자리 선택과 사람 배열을 구분했는지를 확인하는 방식이다.
순서를 바꾼 문제에서 기준을 다시 세우기
훈련 문제는 조건과 질문의 순서를 섞어 제시한다. “7명의 학생을 세울 때 여학생 3명이 서로 이웃하지 않도록 하는 방법은?”처럼 인원과 조건을 먼저 읽게 한 뒤, 학생이 ‘남학생 배열 → 빈자리 선택 → 여학생 배열’의 순서를 스스로 적는지 본다.
또 “가좌마을 행사에 남학생 4명과 여학생 3명이 참여하고, 담당 교사 1명은 배열 대상이 아니다”와 같이 불필요한 정보를 넣는다. 이때 교사는 배열 대상이 학생 7명뿐임을 학생이 스스로 제외하는지 확인한다. 답안에 4! × ₅C₃ × 3!을 쓰고, 각 단계의 대상을 문자로 설명하면 조건이 바뀌어도 기준을 적용한 것으로 판단한다.
귀가 후 짧은 시간에 남길 풀이 흔적
학교별 시험 범위와 수행평가 일정이 겹친 주간에는 긴 문제 세트보다 한 문제의 배열 기준을 말로 정리하는 훈련이 적합하다. 가좌고등학교 수업 복습 뒤에는 문제 옆에 ‘자리 먼저’ 또는 ‘사람 먼저’를 쓰고, 그 선택 이유를 한 문장으로 남긴다. 이후 숫자나 성별 조건이 달라져도 같은 판단을 반복할 수 있는지가 학습 상태를 확인하는 기준이 된다.