일산동구고2수학과외

탄젠트 그래프에서 점근선을 지나 그린 오답 바로잡기

일산동구 고2수학과외 수업에서 그래프 문제를 채점할 때는 마지막 좌표보다 식이 바뀌는 지점을 먼저 확인해야 한다. 귀가 후 과제에서 학생이 답만 지우고 다시 그린 경우, 주기와 점근선이 어느 계산 줄에서 어긋났는지 추적하는 과정이 필요하다.

x=π/2는 값이 아니라 점근선이다

기본 함수 y=tan x에서

tan x = sin x / cos x

이므로 cos x=0인 곳에서는 함수값이 정의되지 않는다. 따라서

x=π/2+kπ (k∈ℤ)

가 수직점근선이고, 탄젠트 그래프의 주기는 π이다. 한 구간 -π/2<x<π/2에서는 그래프가 증가하지만, 양 끝의 점근선을 선으로 연결하지 않는다.

풀이에서 학생은 그래프의 마지막 높이만 수정하면서 x=π/2를 지나도록 곡선을 이어 그렸다. 그러나 tan(π/2)는 계산 가능한 값이 아니므로 그 점을 통과하는 그래프는 원래 식과 양립할 수 없다. 오류는 마지막 값이 아니라 점근선의 위치를 함수값처럼 처리한 계산 줄에서 발생했다.

간단한 대입으로 그래프의 연결 여부 확인하기

그래프를 다시 그릴 때는 먼저 대표값을 대입한다.

• tan 0=0
• tan(π/4)=1
• tan(-π/4)=-1
• tan(π/2)는 정의되지 않음

따라서 (0,0)을 지나고 x=π/2에 가까워질수록 위로 커지는 곡선을 그리되, 점근선에서 끊어야 한다. x=π/2에 점을 찍거나 그 점을 통과해 이어 그린다면 식의 분모 cos x가 0이 되는 사실을 무시한 것이다.

표에서 식의 기준을 옮겨 보는 검증

이번에는 같은 원리를 표로 바꾸어 y=tan(x-π/4)를 확인한다. 안쪽 식을 먼저 계산하면 주기와 점근선의 위치가 달라지지 않고 평행이동된다는 점을 놓치지 않을 수 있다.

이 표에서 x=3π/4를 통과하도록 연결하면 안 된다. 실제 그래프는 x=3π/4에서 끊기며, 점근선은

x-π/4=π/2+kπ에서 x=3π/4+kπ

로 정리된다. 표의 각 행에서 안쪽 각을 먼저 계산하고, 그 값이 π/2+kπ인지 확인하는 습관이 그래프 오류를 계산 단계에서 잡아낸다.

이처럼 학교 프린트나 수행평가 문제를 풀 때도 완성된 그림만 고치지 말고, 주기 π, 점근선의 위치, 대표 대입값이 서로 일치하는지 순서대로 대조해야 한다.