일산동구고1수학과외, 특정 인물을 포함한 조합의 고정 원리
일산동구의 고등학교 과제와 시험 준비를 살필 때는 귀가 시각과 과제량에 따라 풀이 과정을 짧게 점검하는 것이 유용하다. 특히 조합 문제에서 특정 사람을 포함하라는 조건은 계산보다 먼저 선택 대상을 고정해야 한다.
‘민서를 포함한다’는 조건을 식에 반영하기
8명 중 3명을 뽑는데 민서가 반드시 포함되어야 한다고 하자. 민서를 먼저 뽑는 선택은 이미 정해져 있으므로, 남은 7명 중 2명만 고르면 된다.
1명 고정: 민서
나머지 선택: 7명 중 2명
따라서 경우의 수는
① × ₇C₂ = 21
이다. 민서를 포함한다는 조건을 무시하고 8명 중 3명을 고르면 ₈C₃=56이 되어, 조건을 만족하지 않는 경우까지 포함된다.
시간이 부족할 때 사라진 확인 흔적
학교 프린트의 “8명 중 3명을 뽑을 때 민서가 포함되는 경우의 수”에서 학생은 답안에 곧바로 ₈C₃=56을 적었다. 특정 인물을 고정했다는 표시도, 남은 인원을 다시 세었다는 메모도 없었다.
이 답은 전체 3명 선택을 계산한 것이므로 ‘민서 포함’ 조건에 맞지 않는다. 학생이 관련 개념을 전혀 접하지 못한 상태라기보다, 시간 제한 속에서 조건을 식으로 옮기는 기준이 아직 안정되지 않은 장면이다. 정답을 다시 21이라고 적는 것만으로는 이 판단이 생겼다고 보기 어렵다.
계산 전에 한 줄로 조건을 고정하기
같은 유형을 풀 때는 계산식보다 먼저 다음처럼 적는다.
민서 1명을 먼저 고정하고, 나머지 7명 중 2명을 선택한다.
그 뒤 ₇C₂=7×6÷(2×1)=21을 계산한다. 여기서 ‘민서 1명’은 별도로 조합을 계산하는 대상이 아니다. 이미 포함이 결정되었기 때문에 남은 선택만 조합으로 처리한다.
반대로 “민서가 포함되지 않는 경우”라면 민서를 제외한 7명 중 3명을 고르는 ₇C₃으로 바뀐다. 포함과 제외는 고정하는 집합이 달라지므로, 문제의 조건 문장을 먼저 분명히 적어야 한다.
불필요한 정보가 섞인 문항에서 조건만 추리기
다음과 같이 문제를 바꾸어 제시한다.
“9명의 동아리원 중 4명을 대표로 뽑는다. 이때 지우는 반드시 포함한다. 동아리실은 17번 교실이다.”
교실 번호 17은 선택 대상이나 포함 조건이 아니므로 계산에 들어가지 않는다. 지우를 고정하면 나머지 8명 중 3명을 선택하므로
₈C₃ = 8×7×6÷(3×2×1)=56
이다. 풀이 첫 줄에 “지우 고정, 8명 중 3명 선택”이라고 쓰는지 확인하면, 불필요한 숫자에 끌려가지 않고 조건을 먼저 처리하는지 알 수 있다.
정답보다 조건 확인으로 끝내는 점검
새 수치의 문제에서 학생이 계산 전에 특정 인물을 고정하고, 전체 인원에서 그 사람을 제외한 뒤 필요한 인원만 선택하는지 살핀다. 예를 들어 10명 중 5명을 뽑으며 수현을 포함한다면 ₉C₄=126을 세워야 한다.
이때 답이 126인지뿐 아니라 “수현 1명 고정, 남은 9명 중 4명”이라는 근거가 먼저 나타나는지가 기준이다. 교실 번호나 날짜처럼 선택과 관계없는 숫자가 추가되어도 같은 순서로 조건을 분리한다면, 단순 계산 반복이 아니라 포함 조건을 독립적으로 적용한 것으로 판단할 수 있다.