일산동구고3수학과외

교점에서 멈추지 않고 넓이의 부호까지 확인하는 풀이

일산동구의 안곡고등학교, 저현고등학교, 저동고등학교, 백마고등학교, 정발고등학교, 풍동고등학교 등에서 고3 수학을 준비하는 학생이라면 귀가 시각과 과제량에 맞춰 시험 준비 순서를 조절해야 한다. 이 학생은 늦은 시간까지 여러 문제를 풀기보다, 한 문제에서 처음 틀린 줄을 찾아 다시 검산하는 연습이 필요한 단계였다.

적분구간을 나누지 않아 생긴 첫 오류

두 곡선

y=x³-3x, y=x

으로 둘러싸인 넓이를 구하는 과정에서 학생은 먼저 교점을 구했다.

x³-3x=x  →  x³-4x=0  →  x(x-2)(x+2)=0

따라서 교점의 x좌표는 -2, 0, 2이다. 그런데 학생은 세 교점 중 가운데 교점에서 곡선의 위아래 관계가 바뀌는지 확인하지 않고 다음과 같이 적었다.

넓이 = ∫_-2²{x-(x³-3x)}dx = ∫_-2²(4x-x³)dx = 0

이 식은 오답이다. 넓이는 0이 될 수 없으며, 문제의 오류는 계산 마지막 줄이 아니라 교점 0에서 적분구간을 나누지 않은 것이다. x=1을 대입하면 y=x는 1, y=x³-3x는 -2이므로 오른쪽 구간에서는 직선이 위에 있다. 반대로 x=-1을 대입하면 직선은 -1, 곡선은 2이므로 왼쪽 구간에서는 삼차함수가 위에 있다.

틀린 줄 하나만 고쳐 다시 계산하기

• 첫 오류 표시: -2부터 2까지 한 번에 적분한 줄에 밑줄을 긋는다.
• 조건 확인: 교점 x=-2, 0, 2를 순서대로 적고, 각 구간의 대표값을 대입한다.
• 식 수정: [-2, 0]에서는 (x³-3x)-x, [0, 2]에서는 x-(x³-3x)를 사용한다.

따라서 넓이는

∫_-2⁰(x³-4x)dx + ∫₀²(4x-x³)dx

이다. 각각 계산하면

∫_-2⁰(x³-4x)dx = 4,

∫₀²(4x-x³)dx = 4

이므로 전체 넓이는 8이다. 학생은 마지막에 그래프의 좌우 대칭성과 두 부분의 넓이가 각각 4인지 확인해 계산 결과도 검산했다.

조건을 바꾼 독립 검증

같은 풀이를 반복하지 않고 다음 문제로 확인했다.

y=x³-4x와 y=2x로 둘러싸인 넓이를 구하여라.

교점은

x³-4x=2x  →  x³-6x=x(x-√6)(x+√6)=0

이므로 x=-√6, 0, √6이다. x=-1에서는 삼차함수가 위에 있고, x=1에서는 직선이 위에 있으므로 구간을 0에서 나누어야 한다.

넓이는

∫_-√6⁰(x³-6x)dx + ∫₀^√6(6x-x³)dx

이며, 두 부분이 각각 9가 되어 전체 넓이는 18이다. 학생은 이번에는 해설을 보지 않고 대표값 대입으로 곡선의 위아래를 판별한 뒤, 잘못된 단일 적분 후보를 스스로 제거했다.