정발산동고2수학과외: 삼각함수 그래프의 주기를 먼저 판별하는 연습
양지마을2단지에서 귀가한 뒤 학교 프린트를 정리하던 학생의 풀이에서 첫 줄부터 오류가 발견되었다.
y = sin 2x의 주기 = 4π
계산 과정이 길어서 생긴 실수가 아니라, 그래프의 입력값이 얼마나 변해야 같은 함수값으로 돌아오는지를 확인하지 않고 결과 계산부터 시작한 장면이었다. 저동고등학교와 일산동구 내 다른 학교의 문제를 풀 때도 이 판단 순서를 먼저 세워야 주기와 진폭을 혼동하지 않는다.
sin 2x에서 4π가 될 수 없는 이유
사인 함수의 기본 주기는 2π이다. 따라서
sin(2(x+T)) = sin 2x
가 모든 x에 대해 성립하려면 입력 각도가 2π만큼 변해야 하므로
2T = 2π, T = π
이다. 그러므로
y = sin 2x의 주기는 π
이다. 4π를 대입하면 같은 함수값이 다시 나타나기는 하지만, π의 두 배인 값일 뿐 최소 양의 주기가 아니다. 주기는 “반복되는 값”이 아니라 “가장 작은 양의 반복 간격”을 뜻한다.
계수의 위치에 따라 주기와 진폭을 분리하기
일반적인 함수
y = a sin(bx+c)+d
에서 진폭은 |a|이고, 주기는 b≠0일 때
T = 2π / |b|
이다. c는 그래프의 수평 이동, d는 수직 이동에 관여하지만 주기를 바꾸지 않는다. 예를 들어
y = -3sin(4x-π)+2
에서는 진폭이 3이고 주기는
T = 2π/|4| = π/2
이다. 앞의 음수와 3을 먼저 계산해도 주기는 정해지지 않으므로, x의 계수 4를 찾아 주기부터 확정해야 한다.
오류를 지우기 전에 남겨야 할 한 문장
학생이 4π를 적은 줄을 바로 지우지 않고 다음과 같이 원인을 기록하게 했다.
“기본 주기 2π에 계수 2를 곱해서, 나누어야 할 값을 반대로 처리했다.”
그 다음 해당 단계만
T = 2π/|2| = π
로 고친다. 이 방식은 답 전체를 새로 베끼는 것이 아니라, 주기 공식에서 계수의 절댓값으로 나누어야 한다는 판단을 풀이 안에 남긴다.
정의된 구간에서는 이동한 점도 범위 안에 있어야 한다
주기 공식은 보통 x의 범위가 모든 실수일 때 사용한다. 만약 함수가 특정 구간에서만 제시되었다면 x와 x+T가 모두 그 구간에 들어가는지 확인해야 한다. 예를 들어 y=sin 2x를 0≤x≤π로 제한하면 π만큼 이동한 두 점을 비교할 때 x+π가 구간 밖으로 나갈 수 있다. 따라서 그래프의 반복 성질과 주어진 표시 구간을 구분해야 한다.
이후 예제를 가린 뒤 다음 문제를 제시했다.
y = 2cos(3x+π/4)-1의 진폭과 주기를 구하여라.
풀이의 첫 줄에 학생이 먼저
|a|=2, |b|=3
을 표시하고, 이어서
T = 2π/3
을 적는지 확인한다. 위상 이동 π/4와 수직 이동 -1을 주기 계산에 잘못 사용하지 않고, 새로운 삼각함수와 계수에서도 “x의 계수 확인 → 절댓값으로 나누기 → 최소 양의 주기 확인”의 순서를 유지하는지가 검증 지점이다.