정발산동고1수학과외: 같은 배열을 한 번만 세는 순열의 기준
저동고등학교 과제와 귀가 후 복습을 함께 점검할 때, 같은 원소가 반복되는 순열에서는 계산보다 먼저 ‘서로 다른 배열인가’를 판단해야 한다. 정발산동고1수학과외 학습에서도 이 기준이 빠지면 숫자는 맞아 보여도 중복된 배열을 여러 번 세게 된다.
‘모두 다른 것’으로 세면 생기는 중복
예를 들어 문자 A, A, B, C를 한 줄로 배열하는 경우를 보자. 학생이 두 A를 구별하여 A1, A2, B, C처럼 생각하면 전체 배열 수를
4! = 24
로 계산하게 된다. 그러나 A1과 A2의 위치만 서로 바꾼 두 배열은 실제 문자 배열에서는 똑같다. 예를 들어 A1BA2C와 A2BA1C는 모두 ABAC 하나로 나타난다.
따라서 같은 A 두 개가 만들어 내는 중복 2!을 나누어
4! ÷ 2! = 12
로 세어야 한다. 같은 원소가 두 종류 이상이면 각 반복 개수의 팩토리얼을 모두 나눈다.
답안에 남아 있던 학생의 계산
학교 문제에서 A, A, B, B, C, D를 배열하자고 하자. 학생은 같은 원소에 별도 표시를 하지 않고도 곧바로
6! = 720
이라고 적었다. 이 계산은 여섯 원소를 모두 서로 다른 것으로 센 경우다. 하지만 A 두 개의 교환은 2!, B 두 개의 교환도 2!만큼 같은 배열을 반복해서 세게 만든다.
올바른 식은
6! ÷ (2! × 2!) = 180
이다. 여기서 학생의 문제는 계산 실수가 아니라, 반복되는 원소를 확인한 뒤 중복 배열을 제거하는 과정을 풀이에 남기지 않은 데 있다. 혼자 풀 때 ‘같은 것이 있는 순열에서 동일한 배열을 나눈다’는 판단을 말로 확인하지 않고 정답만 다시 적은 것도 현재 학습 상태를 보여준다.
수정할 때는 반복 개수를 식으로 고정한다
오답을 고칠 때는 정답 180만 옆에 쓰지 않는다. 먼저 전체 원소 수를 세고, 같은 원소별 개수를 작은 표처럼 적는다.
- 전체 원소: 6개 → 6!
- A의 반복: 2개 → 2!
- B의 반복: 2개 → 2!
- 서로 다른 배열 수: 6! ÷ (2!×2!) = 180
이렇게 하면 ‘같은 원소 수만큼 팩토리얼로 나눈다’는 행동이 실제 풀이에 나타난다. 오답노트에는 긴 해설 대신 반복 원소의 개수를 세고 각 팩토리얼로 나눈다라는 바뀐 행동 한 가지만 기록할 수 있다.
조건이 붙으면 나누기 전에 전체 구조를 다시 본다
같은 문자 A, A, B, B, C, D를 배열하되 두 B가 서로 붙어 있어야 한다고 하자. 두 B를 하나의 묶음 BB로 보면 배열 대상은 BB, A, A, C, D의 5개이므로
5! ÷ 2! = 60
이다. B끼리의 순서를 바꾸는 경우는 BB 하나뿐이므로 별도로 2!을 곱하지 않는다. 이처럼 반복 원소를 나누는 규칙은 조건을 읽은 뒤 남는 배열 대상이 무엇인지 확인하고 적용해야 한다.
자료의 단위가 바뀐 문제에서 첫 판단 확인하기
복습 마무리에는 표의 단위를 바꾼 자료 문제를 사용한다. 예를 들어 표에 ‘빨간 카드 0.2묶음, 파란 카드 0.2묶음’처럼 적혀 있고, 실제로는 각 묶음이 같은 카드 2장씩을 뜻한다면 먼저 자료를 배열 가능한 원소의 개수로 바꾸어야 한다. 단위를 해석하지 않은 채 순열 기호부터 쓰면 반복 개수를 잘못 정할 수 있다.
정발산동에서 귀가 후 과제량이 많은 날에는 문제를 많이 푸는 대신, 이 자료를 읽고 학생이 스스로 첫 행동을 정하는지 본다. 표의 단위를 배열 원소로 바꾼 뒤 반복되는 원소의 개수를 세고, 그 개수의 팩토리얼을 나누는 식을 세우면 해당 문제의 학습 행동이 바뀐 것이다. 복습 종료 시점은 같은 유형을 무작정 늘리는 대신, 새로운 단위 표현에서도 이 순서를 혼자 실행했는지 확인한 뒤 정한다.