회전체 부피에서 반지름과 회전 구간을 다시 확인한 사례
정발산동에서 고3 수학과외를 받는 학생은 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 진행하면서도, 회전체 문제에서는 계산을 먼저 시작하는 습관이 남아 있었다. 저동고등학교를 비롯해 일산동구의 학교생활을 병행할 때에는 풀이 시간을 줄이는 것보다 조건을 정확히 읽는 순서가 중요했다.
회전축까지의 거리를 반지름으로 정하기
학생이 다시 푼 문제는 곡선 \(y=1-x^2\), \(x\)축, 직선 \(x=-1,\ x=1\)로 둘러싸인 영역을 \(y\)축 둘레로 회전시킬 때의 부피를 구하는 문제였다.
학생은 회전축이 \(y\)축이므로 반지름을 \(x\)로 두고 다음과 같이 계산했다.
오답: \(V=2\pi\int_{-1}^{1}x(1-x^2)\,dx=0\)
이 식은 틀렸다. 왼쪽 구간에서는 \(x<0\)이므로 반지름이 음수가 될 수 없고, 실제 반지름은 회전축 \(x=0\)까지의 거리인 \(|x|\)이다. 또한 좌우 영역을 모두 회전시키면 같은 입체가 겹쳐서 만들어지므로 양쪽을 모두 더해서도 안 된다.
틀린 줄을 표시하고 입체의 겹침까지 검산하기
- 틀린 줄 표시: \(r=x\)로 둔 부분에 밑줄을 긋는다.
- 조건 확인: 회전축은 \(x=0\)이고, \(x<0\)에서는 \(r=-x\)이다.
- 중복 확인: 좌우 영역은 \(y\)축 회전 후 같은 원판을 만들므로 오른쪽 절반만 사용한다.
- 식 수정: \(V=2\pi\int_0^1x(1-x^2)\,dx\)로 고친다.
따라서
\[ V=2\pi\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]_0^1 =2\pi\left(\frac12-\frac14\right) =\frac{\pi}{2} \]
원판으로도 확인할 수 있다. \(y=1-x^2\)에서 \(x^2=1-y\)이므로 높이 \(y\)에서의 반지름 제곱은 \(1-y\)이다.
\[ V=\pi\int_0^1(1-y)\,dy=\frac{\pi}{2} \]
두 방법의 결과가 같으므로 반지름과 회전 구간을 올바르게 정한 것이다.
조건을 바꾼 독립 검증
학생은 같은 풀이를 반복하지 않고, 영역을 \(y=4-x^2\), \(x\)축, \(x=-2,\ x=2\)로 바꾸어 \(y\)축 둘레의 부피를 구했다. 이번에도 회전축까지의 거리는 \(|x|\)이며 좌우가 겹치므로 오른쪽 절반만 사용한다.
\[ V=2\pi\int_0^2x(4-x^2)\,dx =2\pi\left[2x^2-\frac{x^4}{4}\right]_0^2 =8\pi \]
원판법으로는 \(x^2=4-y\)이므로
\[ V=\pi\int_0^4(4-y)\,dy=8\pi \]
학생은 이제 계산 전에 회전축, 반지름의 절댓값, 좌우 영역의 중복 여부를 먼저 표시하고, 마지막에는 다른 적분법으로 결과를 역검산하는 방식으로 풀이를 마무리했다.