장항동고2수학과외에서 확인하는 삼각함수 그래프의 진폭 변화
귀가 뒤 학교 프린트와 시험 준비를 이어 갈 때, 삼각함수 그래프는 계수 하나를 놓치면 전체 해석이 달라진다. 특히 y=3sin x를 보고도 진폭을 1로 적는다면, 계산보다 먼저 식의 각 요소를 그래프의 특징과 연결해야 한다.
y=3sin x에서 계수 3을 빠뜨린 풀이
기본 그래프 y=sin x의 최댓값은 1, 최솟값은 -1이다. 따라서 앞에 3이 곱해진
y=3sin x
의 값의 범위는
-3≤y≤3
이며 진폭은 3이다. 그런데 풀이 흔적에 “진폭 1”이라고 남아 있다면, 학생이 계수의 변화를 그래프에 반영하지 않고 기본형을 그대로 적용한 것이다. 이때 주기는 여전히 2π이고, 수평 이동과 수직 이동은 없다. 삼각함수 그래프에는 로그함수처럼 점근선이 생기지 않으므로, 확인할 대상은 진폭·주기·이동·최댓값과 최솟값이다.
오류가 시작된 줄에서 다시 읽는 법
풀이 전체를 처음부터 반복하기보다 “진폭 1”이라고 적힌 줄에 다음 표기를 덧붙인다.
y=A sin(Bx-C)+D
- |A|: 진폭
- 2π/|B|: 주기
- C/B: 수평 이동
- D: 수직 이동과 중심선
y=3sin x에서는 A=3, B=1, C=0, D=0이므로 진폭은 3, 주기는 2π, 중심선은 y=0이다. 이어서 대표값을 대입하면
x=0일 때 y=0, x=π/2일 때 y=3, x=π일 때 y=0, x=3π/2일 때 y=-3이다.
이처럼 오류가 계수 3을 무시한 지점에서 발생했다면, 그 줄부터 진폭과 최댓값·최솟값만 바로잡는다. 이미 맞게 구한 주기나 이동까지 불필요하게 다시 계산하지 않는다.
부호와 이동이 함께 바뀐 식에서의 구별
다음 식에서는 각 요소를 분리해 읽어야 한다.
y=-2sin(x-π/3)+1
여기서 진폭은 |-2|=2이고, 음수 부호는 그래프를 중심선에 대해 반사한다. 주기는 2π, 오른쪽으로 π/3만큼 이동하며 중심선은 y=1이다. 따라서 치역은
-1≤y≤3
이다. x=π/3을 대입하면 y=1이 되어 이동된 사인 그래프의 중심선을 지나고, x=5π/6에서는 y=-1이 된다. 진폭을 2가 아니라 1로 쓰면 이 최솟값을 설명할 수 없다.
조건 하나만 바뀐 식으로 확인하기
마지막으로 다음 두 식을 비교한다.
y=3sin x
y=3sin(x-π/4)
두 번째 식에서 바뀐 것은 수평 이동뿐이다. 계수 3은 그대로이므로 진폭은 여전히 3이고, 주기도 2π로 같다. 달라진 점은 그래프가 오른쪽으로 π/4 이동했다는 사실이다. 따라서 x=π/4에서 두 번째 식은 y=0을 지나며, x=3π/4에서 최댓값 3을 갖는다.
이 검증에서 계수 3을 다시 1로 적거나, 이동만 바뀐 식의 진폭까지 바꾸면 이전 오류가 되살아난 것이다. 반대로 진폭 3, 주기 2π, 오른쪽 이동 π/4를 각각 확인했다면 새로운 조건에서도 바뀐 부분만 정확히 조정한 셈이다.