장항동고3수학과외

장항동 고3수학과외, 교점 뒤 부호를 다시 확인하는 넓이 풀이

장항동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 안곡고·저현고·저동고·백마고·정발고 등 같은 일산동구 통학권을 참고해 학습 상황을 살폈다. 귀가 후 과제와 시험 준비를 함께 해야 하는 고3 학생에게는 계산 속도보다 풀이 중간의 판단 기준을 세우는 연습이 중요하다.

교점만 구하고 부호를 놓친 풀이

학생은 다음 두 함수 사이의 넓이를 구하는 문제에서 교점은 정확히 찾았다.

f(x)=x²-4x+3, g(x)=x-1

두 그래프의 교점은

x²-4x+3=x-1 ⟹ x²-5x+4=0 ⟹ x=1, 4

이다. 그런데 학생은 함수의 대소 관계를 확인하지 않고

넓이 = ∫₁⁴{f(x)-g(x)}dx = ∫₁⁴(x²-5x+4)dx

라고 적었다. 이 식은 넓이가 아니라 음수인 정적분이다. 실제로 1<x<4에서 x²-5x+4<0이므로 위쪽 그래프는 g(x), 아래쪽 그래프는 f(x)이다.

부호표를 만든 뒤 식을 교정하기

• 틀린 줄 표시: ∫₁⁴(f-g)dx
• 조건과 변수 관계 확인: f-g=(x-1)(x-4)이므로 1과 4 사이에서는 음수이다.
• 식 수정: 넓이 = ∫₁⁴|f-g|dx = ∫₁⁴(-x²+5x-4)dx

따라서

∫₁⁴(-x²+5x-4)dx
= [ -x³/3 + 5x²/2 - 4x ]₁⁴
= 8/3 - (-11/6) = 9/2

이다. 학생은 계산 후 그래프를 다시 그려 1과 4 사이에서 포물선이 직선 아래에 있는지 확인했고, 원래 적분값이 -9/2였으므로 절댓값을 취한 결과와 부호가 반대라는 점도 역검산했다.

교점이 늘어난 변형에서 다시 검증하기

조건을 바꾸어 y=x³-4x와 x축 사이의 넓이를 구하면 교점은

x³-4x=x(x-2)(x+2)=0 ⟹ x=-2, 0, 2

로 세 개이다. 학생의 처음 답안은 교점이 늘어났는데도 이전처럼 한 구간만 적분했다.

∫_-2⁰(x³-4x)dx = 4

이 값은 전체 넓이가 아니며, 0부터 2까지의 구간을 빠뜨린 오답이다. -2<x<0에서는 함수가 양수이고 0<x<2에서는 음수이므로

넓이 = ∫_-2⁰(x³-4x)dx + ∫₀²-(x³-4x)dx

이다. 두 구간의 넓이는 각각 4이므로 전체 넓이는 8이다. 함수가 홀함수이고 구간이 -2부터 2까지 대칭이라는 사실로 두 부분의 넓이가 같은지도 확인할 수 있다.

풀이 전 확인할 세 가지

• 교점의 개수와 x좌표를 먼저 구한다.
• 각 구간에서 어느 함수가 위에 있는지 부호로 판단한다.
• 적분 결과의 부호, 그래프의 대칭성, 구간 누락 여부를 검산한다.