장항동고1수학과외: 원순열과 일렬 배열을 회전 중복으로 구별하기
장항동에서 귀가 후 과제와 시험 준비 순서를 점검할 때, 경우의 수 문제는 계산보다 배열의 성격을 먼저 판별해야 한다. 특히 원탁에 앉는 문제와 한 줄로 세우는 문제는 같은 사람 수라도 회전한 배치를 같은 것으로 보는지에 따라 식이 달라진다.
계산 전에 빠진 한 줄
학교 프린트의 문제는 네 사람 A, B, C, D를 원탁에 앉히는 경우의 수를 묻고 있었다. 학생은 조건을 식으로 옮긴 뒤 원문과 다시 대조하지 않았고, 답안 여백에도 배열 형태를 구분한 표시가 없었다. 곧바로 4!을 계산해 24를 적었다.
하지만 원탁에서는 모두가 한 자리씩 회전한 배열을 같은 배치로 본다. 예를 들어
A-B-C-D, B-C-D-A, C-D-A-B, D-A-B-C
는 시작 위치만 달라졌을 뿐 원탁에서의 이웃 관계가 같다. 따라서 학생의 24는 회전한 네 배치를 각각 중복해서 센 결과다.
배열의 모양이 식을 결정한다
일렬 배열에서는 왼쪽과 오른쪽의 위치가 구별된다. 네 사람을 한 줄에 세우면 첫 자리부터 네 번째 자리까지 구분되므로 경우의 수는
4! = 24
이다. 반대로 원탁 배열에서는 한 사람을 기준 자리에 고정하면 나머지 세 사람만 배치하면 된다.
(4-1)! = 3! = 6
이는 단순히 공식 두 개를 외우는 과정이 아니다. 회전했을 때 같은 이웃 관계가 유지되는지 확인하는 판단이다. 학생이 빠뜨린 단계는 계산 전 배열을 그림이나 문장으로 다시 확인하고, ‘한 줄’인지 ‘원탁’인지 표시하는 일이었다.
오답이 시작된 줄을 다시 쓰는 방법
오답 수정에서는 4!을 지우는 데서 끝내지 않고, 그 앞에 다음 줄을 삽입한다.
- 배열 형태: 원탁
- 회전한 배치는 같은 것으로 취급
- A를 기준 자리에 고정
- 남은 B, C, D를 배치: 3!
실제로 A를 고정하면 가능한 배치는 B-C-D, B-D-C, C-B-D, C-D-B, D-B-C, D-C-B로 6개다. 반면 문제에서 네 사람이 일렬로 서서 양 끝의 위치가 구별된다면 고정할 사람이 없으므로 4!을 사용한다.
조건을 바꿔도 회전 여부를 먼저 찾는지
원탁 문제에 조건이 추가되면 회전 중복 판단과 조건 처리를 순서대로 해야 한다. 예를 들어 다섯 사람 A, B, C, D, E를 원탁에 앉히되 A와 B가 이웃해야 한다면 A를 기준 자리에 고정한 뒤 B의 자리를 A의 양옆 중 하나로 정하고, 나머지 세 사람을 배치한다.
2 × 3! = 12
여기서도 처음부터 5!을 계산하면 회전 중복을 세게 된다. 학생은 ‘원탁’이라는 조건을 먼저 표시한 다음, 이웃 조건을 별도로 처리해야 한다.
좌표가 달라진 그림에서 확인한 판단
검증에서는 같은 사람과 같은 숫자를 반복하지 않고, 좌표값이 달라진 원형 그래프를 제시한다. 예를 들어 원 위의 네 위치를 (2, 0), (0, 3), (-2, 0), (0, -3)으로 표시하고 네 기호를 배치하게 한다. 좌표가 바뀌어도 각 위치가 원형으로 연결되어 있고 회전한 배치를 같은 것으로 보는 조건이라면, 학생은 한 위치를 기준으로 고정한 뒤 나머지 세 위치를 배열해야 한다.
이때 중간식 (4-1)! = 3!을 스스로 유지하는지 살핀다. 계산이 틀리면 답만 고치게 하지 않고, ‘원탁 표시를 했는가’, ‘기준 위치를 고정했는가’, ‘남은 위치를 배열했는가’ 중 어느 줄에서 오류가 시작됐는지 혼자 찾아 다시 쓴다. 좌표값과 그림의 모양이 달라져도 회전 중복이라는 성질을 찾아내면 원순열과 일렬 배열을 구별한 것으로 볼 수 있다.