일산풍동 고2수학과외: 그래프의 폭이 바뀌면 주기도 다시 계산해야 한다
풍동고등학교와 세원고등학교가 있는 풍동 생활권에서는 통학과 과제가 겹치는 시기에 그래프 문제의 풀이 흔적을 짧게 점검하는 것이 유용하다. 삼각함수 그래프에서는 모양을 외워 그리는 것보다 식의 계수가 한 주기에 어떤 변화를 주는지 계산 줄에서 확인해야 한다.
y=sin 2x의 주기를 4π로 적은 이유
오답표에는 다음과 같이 적혀 있었다.
y=sin 2x의 주기 = 4π
이는 sin x의 그래프가 2π만큼 움직이면 반복된다는 사실에 2를 곱해 버린 경우다. 그러나 주기는 입력값 x가 얼마만큼 변해야 함수의 각이 2π만큼 변하는지를 뜻한다. 따라서
2(x+T)=2x+2π
이어야 하므로
2T=2π, T=π
이다. 실제로 sin 2(x+π)=sin(2x+2π)=sin 2x이므로 주기는 π이다. 4π를 넣으면 한 주기가 아니라 두 주기만큼 이동한 셈이다.
기호의 뜻을 말한 뒤 식 한 줄만 고치기
풀이를 처음부터 다시 베끼게 하지 않고, 학생이 T를 “x가 변하는 양 중 함수값이 처음 반복되는 최소 양”이라고 설명하도록 했다. 그 설명에 맞춰 오답표의 한 줄만 다음처럼 바꾼다.
2T=2π → T=π
이때 진폭은 여전히 1이고, 주기만 2π에서 π로 줄어든다. 따라서 0≤x≤2π 구간에는 원래 sin x의 한 주기 대신 sin 2x의 두 주기가 나타난다. 그래프에서 같은 모양이 반복되는 간격을 π로 표시하면 계산과 그림의 위치가 일치한다.
오답표 없이 바뀐 계수에 적용하기
이제 식을 보자.
y=cos(3x-π/2)
괄호 안 각이 2π만큼 변해야 하므로
3(x+T)-π/2=(3x-π/2)+2π
에서 3T=2π, 따라서 주기는 T=2π/3이다. -π/2는 그래프의 좌우 이동에 관여하지만 주기를 바꾸지 않는다. 새 문제에서도 계수 3을 주기에 곱하지 않고, “각의 변화량이 2π가 되는 x의 변화량”을 먼저 적었다면 주기 변화와 그래프의 반복 간격을 함께 정확히 확인한 것이다.