일산풍동고1수학과외: 조 이름에 따른 중복 계산 구별하기
풍동고등학교나 세원고등학교의 학교 프린트에서 조 편성 문제가 나오면, 학생은 계산을 시작하기 전에 조 이름이 실제로 구별되는지 확인해야 한다. 풍동 생활권에서 통학과 과제가 겹치는 시기에는 풀이 시간이 짧아져 이 판단을 건너뛰기 쉽지만, 조 이름의 유무는 답을 두 배 차이 나게 만들 수 있다.
같은 편성을 두 번 세고 있는가
학생에게 6명을 3명씩 두 조로 나누라는 문제가 주어졌다. 조 이름이 없다면 먼저 한 조를 고르는 방법은
\(\binom{6}{3}=20\)
이다. 그러나 첫 번째 조를 고르면 나머지 세 명은 자동으로 두 번째 조가 된다. 이때 {민수, 지아, 현우}와 {서준, 유나, 도윤}으로 나눈 결과와, 순서만 바꾼 {서준, 유나, 도윤}과 {민수, 지아, 현우}는 같은 편성이다. 따라서
\(\dfrac{\binom{6}{3}}{2}=\dfrac{20}{2}=10\)
으로 계산해야 한다.
반면 문제에서 1조와 2조처럼 이름을 붙였다면 두 조의 위치가 구별된다. 이 경우에는 첫 조를 고른 뒤 두 번째 조가 정해져도 순서를 합치면 안 되므로 답은 \(\binom{6}{3}=20\)이다.
답안에서 빠진 한 줄이 만든 오류
해당 학생은 풀이를 시작하면서 조 이름이 있는지 적지 않고 곧바로 \(\binom{6}{3}=20\)을 답으로 썼다. 틀린 줄을 지운 뒤에도 같은 계산을 다시 적었을 뿐, 두 조의 순서를 바꾸었을 때 동일한 편성인지 확인한 흔적은 없었다. 질문을 받으면 “조 이름이 없으면 2로 나눠요”라고 답했지만, 혼자 풀 때 그 질문을 스스로 만들지 않은 상태였다.
이 문제에서 필요한 판단은 공식 암기가 아니라 결과의 표현을 바꾸어도 같은 편성인지 살피는 것이다. 조 이름이 없을 때는 두 조를 맞바꿔도 변하지 않으므로 중복이 발생한다. 조 이름이 있을 때는 1조와 2조가 서로 다른 역할을 가지므로 중복이 아니다.
풀이 앞뒤에 조건을 기록하는 훈련
연습할 때 풀이 첫 줄에 다음 중 하나를 반드시 적게 한다.
- 조 이름 없음 → 조 순서를 바꾼 결과는 같은 편성
- 조 이름 있음 → 1조와 2조를 구별
그다음 6명을 두 조로 나누는 문제를 조 이름이 없는 경우와 있는 경우로 각각 풀고, 마지막에는 조를 서로 바꾼 두 결과를 나란히 써서 같은지 비교한다. 앞에서는 조건을 계산 전에 확인하고, 뒤에서는 나온 답이 그 조건과 맞는지 다시 대조한다.
조의 크기가 달라지면 나누는 수가 달라진다
8명을 2명, 3명, 3명의 세 조로 나누되 조 이름이 없다고 하자. 2명 조를 고르는 방법은 \(\binom{8}{2}\), 남은 6명 중 3명을 고르는 방법은 \(\binom{6}{3}\)이다. 남은 3명은 마지막 조로 정해진다. 크기가 3명인 두 조가 서로 바뀌어도 같은 편성이므로
\(\dfrac{\binom{8}{2}\binom{6}{3}}{2} =\dfrac{28\cdot20}{2}=280\)
이다. 두 3명 조에 각각 A조, B조라는 이름이 있다면 나누지 않고 \(560\)이 된다. 조의 크기가 같다는 사실이 중복의 원인이며, 단순히 조의 개수만 보고 항상 2로 나누는 것은 잘못이다.
표현이 바뀌어도 같은 편성인지 확인하기
검증에서는 숫자만 바꾼 문제 대신, 6명을 실제 이름 대신 기호 \(P,Q,R,S,T,U\)로 표시하고 두 조를 다른 순서로 제시한다. 예를 들어 \(\{P,R,U\},\{Q,S,T\}\)와 \(\{Q,S,T\},\{P,R,U\}\)를 같은 결과로 묶는지 확인한다. 조 이름을 붙인 상황에서는 두 표현을 다른 결과로 구분하는지도 함께 본다.
학생이 계산식만 외우지 않고, 표시 방식이 달라져도 조의 교환이 같은 편성을 뜻하는지 스스로 설명한다면 조 편성 문제의 중복 계산 판단을 새로운 조건에서도 적용한 것으로 볼 수 있다.