풍동고등학교 고3 수학과외: 회전체 부피에서 첫 오답 줄 찾기
일산동구 풍동 생활권의 고3 학생은 풍동고등학교와 세원고등학교 등교, 과제, 시험 준비가 겹치면서 채점 뒤 틀린 식보다 정답 숫자만 옮겨 적는 습관이 생겼다. 풍동빌라단지와 단풍마을1단지에서 이동하는 시간까지 고려해 긴 풀이를 줄이되, 조건과 식의 연결은 남기는 방식으로 연습했다.
원판인지 와셔인지 먼저 구분하기
문제에서 곡선 \(y=x\), \(y=x^2\)와 \(x=0,\ x=1\)로 둘러싸인 영역을 \(x\)축 둘레로 회전시킨다고 하자. \(0\le x\le1\)에서는 \(x\ge x^2\)이므로 바깥 반지름은 \(R=x\), 안쪽 반지름은 \(r=x^2\)이다.
학생의 오답은 다음과 같았다.
\(V=\pi\int_0^1x^2\,dx=\frac{\pi}{3}\)
이 식은 오답이다. \(\pi R^2\)만 사용해 원판으로 계산했지만, 두 곡선 사이를 회전하면 가운데가 빈 와셔가 된다. 따라서 안쪽 원의 넓이 \(\pi r^2\)를 빼야 한다.
화살표로 조건과 식 연결하기
- \(0\le x\le1\) → \(x\ge x^2\)
- 바깥 반지름 \(R=x\) → \(R^2=x^2\)
- 안쪽 반지름 \(r=x^2\) → \(r^2=x^4\)
- 와셔 넓이 → \(\pi(R^2-r^2)=\pi(x^2-x^4)\)
학생은 오답 줄에 표시한 뒤, 원래 식을 다음처럼 수정했다.
\(V=\pi\int_0^1\{x^2-(x^2)^2\}\,dx =\pi\int_0^1(x^2-x^4)\,dx =\pi\left(\frac13-\frac15\right) =\frac{2\pi}{15}\)
\(x=\frac12\)를 대입하면 바깥 반지름은 \(\frac12\), 안쪽 반지름은 \(\frac14\)이므로 단면 넓이는 \(\pi(\frac14-\frac1{16})=\frac{3\pi}{16}\)이다. 이 값이 \(\pi x^2=\frac{\pi}{4}\)보다 작아야 하므로, 처음 계산한 원판식이 빈 공간을 빠뜨렸다는 점도 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 곡선 \(y=2x\), \(y=x^2\)와 교점 \(x=0,\ 2\) 사이의 영역을 \(x\)축 둘레로 회전시켰다. \(0\le x\le2\)에서 \(2x\ge x^2\)이므로 이번에도 와셔를 사용한다.
\(V=\pi\int_0^2\{(2x)^2-(x^2)^2\}\,dx =\pi\int_0^2(4x^2-x^4)\,dx =\pi\left(\frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right) =\frac{64\pi}{15}\)
학생은 새 범위에서도 첫 줄에 교점과 함수의 대소관계를 적고, 바깥 반지름과 안쪽 반지름을 화살표로 연결했다. 원판과 와셔를 구분하는 조건을 유지한 뒤 수정된 식을 끝까지 검산하는 것이 이 단원에서의 최초 실패 지점을 줄이는 핵심이다.