백석동고2수학과외, 삼각함수 그래프에서 진폭부터 판별하는 풀이
백석동의 백마고등학교와 백신고등학교처럼 학교별 주간 프린트와 수행평가 일정이 다른 환경에서는 삼각함수 그래프 문제를 외운 순서만으로 처리하기 어렵다. 특히 식의 계수가 바뀌었을 때 진폭과 치역을 다시 판별하는지가 중요하다.
y=3sin x의 그래프에서 빠뜨린 값
다음 문제에서 그래프가 x축 위아래로 얼마나 벌어지는지 구한다고 하자.
문제: 함수 y=3sin x의 진폭과 치역을 구하여라.
풀이 여백에는 “sin x의 진폭은 1이므로 진폭은 1”이라고 적혀 있었다. 그러나 앞의 계수 3은 그래프의 세로 방향 크기를 3배로 바꾸는 값이다.
사인값은 항상 -1≤sin x≤1이므로, 양변에 3을 곱하면
-3≤3sin x≤3
이다. 따라서 진폭은 |3|=3, 치역은 [-3, 3]이다. 주기는 계수 3 때문에 바뀌지 않고 2π로 그대로 유지된다.
계수의 위치를 보고 진폭을 정하는 법
일반적으로
y=a sin(bx+c)+d
의 진폭은 |a|이다. 중심선은 y=d이고, 그래프가 중심선에서 위아래로 움직이는 범위는
d-|a|≤y≤d+|a|
이다. 그러므로 진폭을 확인할 때는 먼저 괄호 안의 각이 아니라 사인 함수 앞의 계수 a를 찾아야 한다. b는 주기와 관련된 값이며 진폭을 결정하지 않는다.
숫자를 바꾼 미니문제로 수정 행동 확인하기
같은 판단을 다음 식에 적용한다.
미니문제: y=-4sin(2x)+1의 진폭과 치역을 구하여라.
풀이 첫 줄에
a=-4, d=1 → 진폭=|-4|=4
라고 표시한다. 사인값의 범위를 이용하면
-1≤sin(2x)≤1
이고, 식 전체의 범위는
-4≤-4sin(2x)≤4
이므로 1을 더해
-3≤y≤5
가 된다. 따라서 치역은 [-3, 5]이다. 음수 계수는 진폭을 음수로 만드는 것이 아니라 그래프를 뒤집을 뿐이므로 진폭은 4로 적어야 한다.
틀린 예시와 새로운 조건에서의 판별
다음과 같은 설명은 틀렸다.
y=-4sin(2x)+1의 진폭은 -4이다.
진폭은 길이나 거리처럼 크기를 나타내므로 음수가 될 수 없다. -4는 반사 방향을 나타내고, 진폭은 |-4|=4이다.
마지막으로 y=2sin(3x)-2를 확인한다. 사인 함수의 범위에 2를 곱하고 -2를 더하면
-2≤y≤2
이다. 진폭은 2, 중심선은 y=-2, 치역은 [-4, 0]이다. 이때도 3은 주기와 관련된 계수일 뿐 진폭에 넣지 않는다. 식에서 사인 앞 계수, 중심선, 치역의 양 끝을 차례로 표시했다면 새로운 조건에서도 진폭 변화를 정확히 적용한 것이다.