백석동고3수학과외

백석동 고3수학과외: 절댓값 넓이는 교점과 부호부터 확인하기

백석동에는 백마고등학교와 백신고등학교가 있고, 같은 일산동구에는 백석고등학교·안곡고등학교·저현고등학교 등이 있다. 학교와 학생마다 내신 준비 방식과 주간 일정이 다르므로, 수업에서는 정해진 공식을 반복하기보다 실제 풀이에서 조건을 놓치는 지점을 확인했다.

부호를 확인하지 않고 적은 넓이식

학생은 곡선 y=f(x)=x²과 직선 y=g(x)=4x-3 사이의 구간 0≤x≤4에서 넓이를 구하며 다음과 같이 적었다.

오답: ∫₀⁴{f(x)-g(x)}dx = ∫₀⁴(x²-4x+3)dx

이 식은 넓이가 아니라 부호를 가진 정적분이다. 두 그래프의 차는

f(x)-g(x)=x²-4x+3=(x-1)(x-3)

이므로 교점은 x=1, 3이다. 0≤x<1과 3<x≤4에서는 차가 양수이고, 1<x<3에서는 음수이다. 따라서 전체 구간에서 f-g를 그대로 적분하면 가운데 부분의 넓이가 상쇄된다.

틀린 줄을 찾아 구간별로 수정한 과정

학생은 답안의 ∫₀⁴(f-g)dx에 표시한 뒤, 먼저 교점과 부호표를 다시 확인했다.

• 0≤x≤1: f-g≥0
• 1≤x≤3: f-g≤0
• 3≤x≤4: f-g≥0

그러므로 절댓값 넓이는 다음처럼 고쳐야 한다.

∫₀¹(x²-4x+3)dx − ∫₁³(x²-4x+3)dx + ∫₃⁴(x²-4x+3)dx

원시함수는 F(x)=x³/3−2x²+3x이다. 각 부분을 계산하면

• ∫₀¹(f-g)dx=4/3
• −∫₁³(f-g)dx=4/3
• ∫₃⁴(f-g)dx=4/3

따라서 두 그래프 사이의 넓이는 4이다. 학생은 계산기 대신 각 경계값에서 F(0), F(1), F(3), F(4)를 대입하고, 가운데 구간의 정적분이 음수인지 역계산으로 확인했다. 그래프를 그려 가운데 부분에서 포물선이 직선보다 아래에 있다는 점도 함께 점검했다.

계수를 바꾼 독립 검증

같은 절차를 다음 문제에 적용했다.

곡선과 직선의 차가 f(x)-g(x)=x²-6x+5=(x-1)(x-5)이고, 구간이 0≤x≤6일 때 절댓값 넓이를 구한다.

교점은 1, 5이며 부호는 양수·음수·양수로 바뀐다. 원시함수 F(x)=x³/3−3x²+5x를 사용하면

∫₀¹(f-g)dx − ∫₁⁵(f-g)dx + ∫₅⁶(f-g)dx = 7/3+32/3+7/3=46/3

이번에는 숫자와 교점이 달라졌지만, 학생은 먼저 |f-g|의 부호가 바뀌는 지점을 찾고 구간을 나눈 뒤 계산했다. 단순히 ∫(f-g)dx로 처리하면 넓이 조건을 만족하지 못한다는 점까지 스스로 확인했다.