백석동고1수학과외: 이웃한 두 사람을 한 묶음으로 세는 순열
백석동의 학교 프린트에서 순열 문제를 풀 때, 두 사람이 반드시 이웃해야 한다는 조건이 붙으면 배열의 대상을 한 명씩 세는 방식부터 바꿔야 한다. 백마고등학교와 백신고등학교처럼 실제 학교별 내신 일정과 과제량은 다를 수 있으므로, 짧은 학습시간에도 조건을 식으로 바꾸는 첫 판단을 분명히 남겨야 한다.
네 사람을 한 줄에 세우는 순간 달라지는 대상
네 명의 학생 A, B, C, D를 한 줄로 배열하되 A와 B가 이웃해야 한다고 하자. A와 B를 따로 배열하면 조건을 확인하는 경우가 복잡해진다. 대신 (AB)를 하나의 묶음으로 보면 배열 대상은 (AB), C, D의 세 개가 된다.
따라서 묶음의 위치를 정하는 방법은 3!가지이고, 묶음 안에서 A와 B의 순서는 AB와 BA로 바뀔 수 있으므로 2!가 추가된다.
3! × 2! = 6 × 2 = 12
이 문제에서 먼저 세워야 할 기준은 ‘A와 B가 이웃하는가’가 아니라, 그 조건을 만족하는 두 사람을 하나의 배열 단위로 바꾸는 것이다.
오답표에 빠진 한 줄이 계산을 바꾼다
관찰된 풀이에서는 A, B, C, D를 한 명씩 배열하여 4! = 24라고 적었다. 그러나 이는 A와 B가 이웃하지 않는 배열까지 모두 포함한다. 반대로 묶음을 만든 뒤에는 3!만 계산하여 6이라고 적기도 했다.
두 번째 식은 묶음 내부의 순서를 고정한 오류다. 실제로 묶음이 첫 자리에 있다면 ABCD와 BACD가 모두 가능하다. 그러므로 묶음 배열 3!에 내부 배열 2!을 곱해야 한다.
이웃 조건이 보이면 ‘조건을 만족하는 대상 묶기 → 묶음 배열하기 → 묶음 내부 순서 정하기’의 순서를 풀이 첫 줄에 표시한다.
묶음 내부 순서를 실제 배열로 확인하기
예를 들어 묶음이 맨 앞에 놓이면 C와 D의 배열은 CD 또는 DC이고, 이때 전체 배열은 ABCD, ABDC, BACD, BADC가 된다. 묶음이 가운데나 뒤에 놓이는 경우까지 합치면 묶음의 위치 배열 6가지마다 내부 순서 2가지가 대응한다.
따라서 단순히 ‘세 덩어리이므로 3!’이라고 끝내지 않고, (AB)라는 덩어리가 실제로는 AB와 BA 두 상태를 가진다는 점을 식에 반영해야 한다.
백석동의 짧은 학습시간에 남길 풀이 표시
백석11단지나 백석마을에서 귀가한 뒤 학교별 프린트와 다른 과목 일정을 함께 처리해야 하는 날에는 긴 오답 정리보다 식의 구조를 짧게 기록할 수 있다. 문제 옆에 ‘AB 묶음’, ‘대상 3개’, ‘내부 2!’를 차례로 적으면 누락된 단계가 바로 드러난다.
이 표시를 시작하지 못한 문제는 정답만 고치는 대신, 왜 4!을 그대로 사용할 수 없는지 말로 설명하게 한다. 이는 개념을 전혀 모르는 상태라기보다 이웃 조건을 배열 단위로 전환하는 첫 단계가 아직 풀이 행동으로 굳지 않은 상태인지 확인하는 과정이다.
답을 알려주지 않고 변형 문항에서 확인하기
연습 직후에는 다섯 명 A, B, C, D, E를 배열하되 C와 D가 이웃하는 문제를 제시한다. 이때 답을 바로 말하지 않고 정해진 문항 체류시간 동안 스스로 판단하게 한다. 막히면 문제를 보류한 뒤 뒤의 해결 가능한 문항으로 이동하는지도 함께 기록한다.
이 변형에서는 (CD)를 한 묶음으로 보아 배열 대상이 (CD), A, B, E의 네 개가 된다. 따라서 풀이의 순서는 4! × 2!이어야 한다. 학생이 숫자만 외워 3! × 2!을 반복하는지, 아니면 새 인원수에 맞춰 묶음 수를 다시 세는지 확인한다.
이후에는 A와 E가 이웃해야 하는 문제로 조건의 문자만 바꾼다. 학생이 먼저 해당 두 사람을 묶고, 묶음 내부의 두 순서를 빠뜨리지 않으며, 막힐 때 답을 기다리지 않고 다음 문항으로 이동한 뒤 돌아오는지를 풀이 순서와 체류시간 기록으로 확인한다.