마두동고2수학과외: tan 그래프에서 주기와 점근선을 함께 읽는 연습
정발고등학교와 백석고등학교가 있는 마두동에서는 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있다. 그래서 짧은 문제라도 그래프의 근거를 식으로 남기는 연습이 필요하다. 같은 일산동구의 안곡고등학교·저현고등학교·저동고등학교는 참고 학교이며, 마두동 소재 학교와 구분해 보아야 한다.
점근선 위에 그래프를 연결한 풀이
다음 함수의 그래프를 그려 보자.
y = -tan(2x - π/3) + 1
풀이에서 먼저 y=tan x의 주기와 점근선만 계산한 뒤, 변환된 식의 점근선과 이동을 표시하지 않는 장면이 나타났다. 또 x=π/2를 점근선으로 잡고 그 위를 그래프가 지나가도록 연결하기도 했다. 그러나 x=π/2에서는 tan x가 정의되지 않으므로 그래프가 그 점을 지날 수 없다. 점근선은 그래프가 가까워지는 직선이지 통과하는 점이 아니다.
2x-π/3을 먼저 표준형으로 바꾸기
각도의 안쪽을 다음처럼 정리한다.
2x - π/3 = 2(x - π/6)
따라서 함수는
y = -tan{2(x-π/6)} + 1
의 꼴이다. 여기서 b=2, h=π/6, k=1이다.
- 주기: π/|2| = π/2
- 점근선 조건: 2(x-π/6)=π/2+nπ
- 점근선: x=π/6+π/4+nπ/2 = 5π/12+nπ/2
- 그래프의 세로 이동: 위로 1
- 앞의 음수: 각 구간에서 tan 그래프가 아래 방향으로 반사됨
따라서 x=5π/12+nπ/2는 그래프가 지나가는 점이 아니라 정의되지 않는 경계선이다. 한 주기 안에서 점근선 두 개를 잡고, 그 사이의 중심 x=π/6에서 함수값 y=1을 표시한 뒤 음수 부호에 맞게 가지의 방향을 정해야 한다.
기호를 말로 바꾼 뒤 식 한 줄을 수정하기
풀이를 마친 뒤 다음 세 문장을 직접 말하게 한다.
- |b|는 tan 그래프의 가로 주기를 π/|b|로 바꾸는 수이다.
- h는 그래프의 세로 점근선 중심을 x=h만큼 이동시키는 수이다.
- y 앞의 음수는 그래프의 위아래 방향을 반전시킨다.
그 설명과 맞도록 잘못된 식의 한 줄을 고친다. 예를 들어 점근선을 x=π/2라고 적었다면, 변환식의 안쪽을 0으로 두는 것이 아니라 tan의 정의가 끊기는 조건인
2(x-π/6)=π/2+nπ
를 적어야 한다. 이 한 줄에서 주기와 점근선이 동시에 결정된다.
부호와 계수를 동시에 바꾼 확인 문제
이번에는 다음 함수를 같은 순서로 분석한다.
y = tan[-(1/2)(x+π/3)] - 2
안쪽을 -(1/2)(x-(-π/3))로 읽으면 b=-1/2, h=-π/3, k=-2이다.
- 주기: π/|−1/2| = 2π
- 점근선: −(1/2)(x+π/3)=π/2+nπ
- 따라서 x=−4π/3−2nπ
- 세로 이동: 아래로 2
- b가 음수이므로 각 주기 구간의 진행 방향은 반대가 된다.
이 문제에서 x=−π/3은 점근선이 아니라 안쪽 각이 0이 되는 기준 위치일 뿐이다. 점근선 식을 따로 세우고, 주기를 계산한 뒤, 음수 부호에 따른 방향을 확인해야 한다. 숫자만 대입해 답을 고르는 것이 아니라 기호의 뜻과 그래프의 위치가 일치하는지 확인하는 것이 목표다.