마두동고1수학과외: 특정 사람을 제외하는 경우의 수, 직접 세기와 전체에서 빼기
정발고등학교나 백석고등학교 프린트를 풀 때 경우의 수 문제의 조건을 숫자부터 계산하면, ‘제외한다’는 말의 범위를 놓치기 쉽다. 마두동고1수학과외 학습에서는 먼저 금지되는 경우를 정하고, 전체에서 빼는 방법과 조건을 만족하는 경우를 직접 세는 방법을 나란히 비교한다.
주사위 전개도에서 조건을 먼저 표시하기
주사위의 여섯 면에 여섯 사람 A, B, C, D, E, F를 한 명씩 배치한다고 하자. A와 B가 마주 보는 면에 놓이지 않는 경우를 구하는 문제에서는 전개도를 접기 전에 마주 보는 면을 표시해야 한다. 같은 면에 두 사람이 놓일 수 없으므로 B의 가능한 위치는 A의 면을 제외한 다섯 면이고, 그중 A와 마주 보는 한 면만 금지된다.
학생의 답안에는 전개도의 접점이나 중심, 면 사이의 거리를 표시하지 않은 채 곧바로 6×5!이라고 적혀 있었다. 이는 B가 A의 반대 면에 놓이는 경우까지 포함한 계산이다. 문제의 조건은 단순히 한 사람을 빼는 것이 아니라, A와 B가 마주 보는 배치를 제외하는 것이다.
전체 배치에서 금지된 배치를 제거하기
가능한 전체 배치는 여섯 사람을 여섯 면에 배치하는 것이므로
6! = 720
이다. A와 B가 마주 보는 배치는 A의 위치를 6가지로 정하면 B의 위치가 자동으로 정해지고, 나머지 네 사람을 남은 네 면에 배치하므로
6×4! = 144
이다. 따라서 조건을 만족하는 배치는
6!−6×4! = 720−144 = 576
이다. ‘특정 사람을 제외한다’는 판단은 여기서 금지 조건에 해당하는 144가지를 전체에서 빼는 방식으로 나타난다.
직접 세는 풀이와 결과 대조하기
이번에는 같은 조건을 직접 세어 보자. A의 위치는 6가지이고, A와 마주 보는 면을 제외하면 B는 A와 이웃한 네 면 중 하나에 놓일 수 있다. 나머지 네 사람은 남은 네 면에 자유롭게 배치되므로
6×4×4! = 576
이다. 전체에서 금지 배치를 뺀 값과 일치하므로 두 풀이가 같은 대상을 세고 있음을 확인할 수 있다. 학생이 풀이 전에 ‘전체에서 빼기와 직접 세기 비교’를 적지 않았던 이유는 계산 기술보다 조건을 세는 기준이 아직 고정되지 않았기 때문이다.
풀이 전에는 “마주 보는 배치를 제외할 때 전체에서 빼기와 직접 세기 비교”라고 적고, 풀이 후에는 두 결과가 같은지 다시 확인한다.
학교 프린트의 표현이 달라졌을 때
프린트에서 “A와 B가 서로 이웃한 면에 있어야 한다”고 표현을 바꾸면 직접 세기는 그대로 6×4×4!이다. 반면 “A와 B가 마주 보지 않아야 한다”는 표현은 전체에서 마주 보는 경우를 빼어 6!−6×4!로 계산할 수 있다. 전개도의 모양이 달라져도 A의 반대 면과 이웃한 네 면을 다시 추적해야 하며, 그림의 위치가 바뀌었다고 면의 관계가 바뀌는 것은 아니다.
변형 조건에서 확인하는 풀이 습관
검증 문제에서는 여섯 면 중 한 면을 사용할 수 없고, A와 B도 마주 보지 않아야 한다고 제시한다. 이때는 사용할 수 없는 면이 A의 위치에 따라 반대 면인지, 이웃한 면인지 달라질 수 있으므로 전개도에서 관계를 다시 표시한 뒤 경우를 나누어야 한다. 학생이 곧바로 기존 식을 복사하지 않고, 마주 보는 면과 이웃한 면을 다시 추적하는지 확인한다.
정발고등학교와 백석고등학교까지의 이동 시간이 서로 다른 학생이라면 풀이 전·후 확인을 긴 문제에만 적용하지 않고, 피곤한 날에는 전개도 표시와 경우 구분처럼 오류가 발생하기 쉬운 학습을 우선한다. 새 조건에서 관계를 직접 표시하고 두 세기 방법을 비교했다면, 해당 판단을 스스로 사용한 것으로 기록한다.