마두동 고3수학과외에서 부호가 바뀌는 넓이 문제 바로잡기
마두동에서 공부하는 고3 학생은 정발고등학교와 백석고등학교처럼 지역 내 학교에 다니는 경우에도 통학 거리와 귀가 시간이 달라 풀이 집중 시간이 일정하지 않을 수 있다. 같은 일산동구의 안곡고등학교, 저현고등학교, 저동고등학교는 참고 학교이며 마두동 소재 학교로 단정하지 않는다. 이 학생은 짧은 학습 시간에 넓이 문제를 빠르게 처리하려다 두 곡선의 위아래 관계를 끝까지 확인하지 않는 오류를 보였다.
부호가 바뀌는 지점부터 확인하기
다음 두 함수의 구간 0≤x≤6에서 두 그래프 사이의 넓이를 구한다.
f(x)=x²−4x+3, g(x)=2x−3
두 함수의 차는
f(x)−g(x)=x²−6x+6=(x−3)²−3
따라서 교점의 x좌표는 x=3−√3, x=3+√3이다. 차의 부호를 구간별로 확인하면 다음과 같다.
- 0≤x<3−√3: f(x)−g(x)>0
- 3−√3<x<3+√3: f(x)−g(x)<0
- 3+√3<x≤6: f(x)−g(x)>0
학생의 오답과 수정 과정
학생의 오답: 넓이 = ∫₀⁶{f(x)−g(x)}dx = 0
이 식은 넓이가 아니라 부호를 포함한 정적분이다. 가운데 구간에서 g(x)가 위에 있는데도 모든 구간에서 f(x)−g(x)를 사용했기 때문에 양의 넓이와 음의 넓이가 서로 상쇄되었다.
학생은 오답 줄에 표시를 한 뒤, 교점 사이에서 위아래가 바뀌는지를 그래프와 부호표로 다시 확인했다.
잘못된 식: ∫₀⁶(f−g)dx
바른 식:
∫₀3−√3(f−g)dx − ∫3−√33+√3(f−g)dx + ∫3+√3⁶(f−g)dx
F(x)=x³/3−3x²+6x라 두면 각 구간의 부호를 반영한 넓이는
2√3+4√3+2√3=8√3
이다. 실제로 원래 식을 그대로 적분하면 0이지만, 넓이는 0이 될 수 없으므로 그래프와 역검산에서도 수정된 식이 맞음을 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 좌표를 옮긴 새 조건으로 확인했다.
p(x)=x²−2x−3, q(x)=3x−3, −1≤x≤6
차는 p(x)−q(x)=x²−5x=x(x−5)이므로 교점은 0과 5이고, 0부터 5 사이에서는 q(x)가 위에 있다.
따라서 넓이는
∫−1⁰(p−q)dx − ∫₀⁵(p−q)dx + ∫₅⁶(p−q)dx
이며, 계산 결과는
17/6+125/6+17/6=53/2
이다. 새 교점과 새 범위에서도 첫 줄부터 부호를 확인했기 때문에, 두 곡선의 순서를 임의로 유지하는 오류를 반복하지 않았다.