증포동 고2수학과외: 도함수 계산 오류가 시작된 줄부터 바로잡기
이천고등학교가 있는 증포동에서는 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있습니다. 그래서 미분 문제를 많이 푸는 것보다, 한 줄의 계산이 어디서 틀렸는지 찾아 그 지점부터 정확히 이어 가는 과정이 중요합니다.
x3을 3x3으로 바꾼 순간
문제는 다음과 같았습니다.
f(x)=x3-4x+1일 때 f′(2)를 구하여라.
학생의 답안에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.
x3을 미분하면 3x3이므로
f′(x)=3x3-4
f′(2)=3·23-4=20
오류는 마지막 대입이 아니라 첫 번째 미분 줄에서 시작되었습니다. 거듭제곱 함수의 미분은 지수를 계수로 내리고, 지수는 1만큼 줄이는 규칙을 적용합니다.
(xn)′=nxn-1
따라서
(x3)′=3x2
이고, 올바른 계산은
f′(x)=3x2-4
f′(2)=3·22-4=12-4=8
입니다. 학생은 정답을 먼저 8로 고치려 했지만, 그렇게 하면 왜 3x3이 잘못되었는지 풀이에 남지 않습니다. 도함수 계산 오류를 수정할 때는 답만 바꾸지 않고, 오류가 발생한 미분 줄을 기준으로 이후 계산을 다시 연결해야 합니다.
오류가 난 줄에서부터 이어 쓰는 연습
같은 문제를 처음부터 다시 푸는 대신, 잘못된 줄에 표시를 하고 바로 아래에 올바른 관계를 적습니다.
x3 → 3x3 (잘못된 지수 처리)
x3 → 3x2 (지수를 1만큼 줄임)
그다음 f′(x)=3x2-4를 사용하여 f′(2)=8까지 이어서 계산합니다. 이 방식은 계산 결과만 고치는 것이 아니라, 도함수의 항마다 지수가 어떻게 변했는지 확인하게 합니다.
계수가 바뀐 식에서도 지수가 줄어드는가
이천시 내 다른 학교의 학생과 비교하거나 학교별 수준을 단정할 필요 없이, 새로운 식에서 같은 판단이 재현되는지를 확인할 수 있습니다. 다음 문제는 앞선 식을 나란히 제시하지 않고 독립적으로 풉니다.
g(x)=2x3-5x2+x일 때 g′(1)을 구하여라.
각 항을 따로 미분하면
g′(x)=6x2-10x+1
이므로
g′(1)=6-10+1=-3
입니다. 여기서 2x3은 6x2, -5x2은 -10x가 되어야 합니다. 새로운 계수와 두 종류의 지수가 들어간 식에서도 지수를 그대로 두지 않고 하나 줄여 계산했다면, 도함수 계산의 기준이 실제 풀이에 자리 잡았는지 확인할 수 있습니다.