증포동고1수학과외, 점근선과 한 점으로 유리함수 식 세우기
유리함수의 식을 정할 때는 숫자를 바로 대입하기보다 그래프의 도형 요소와 식의 문자를 먼저 연결해야 한다. 특히 수직점근선과 수평점근선의 위치를 식에 옮기는 과정에서 부호가 자주 바뀐다.
점근선의 위치를 식의 괄호와 비교하기
기본형을
y = k/(x-p) + q
라고 하면 분모가 0이 되는 순간을 찾아야 하므로
x-p=0 → x=p
이다. 따라서 수직점근선은 x=p, 수평점근선은 식의 마지막 값에 의해 y=q가 된다. 수직점근선이 x=-3이라면 분모는 x+3 또는 x-(-3)으로 써야 한다.
수직점근선: x-p=0
수평점근선: y-q=0
x-p를 x=-p로 읽은 오답
이천고등학교 프린트의 한 문제를 풀 때, 학생은 수직점근선이 x=2, 수평점근선이 y=-1이고 그래프가 점 (3,5)를 지난다는 조건에서
y = k/(x-2) - 1
까지는 적었다. 그러나 풀이 옆에 “수직점근선은 x=-2”라고 표시했다. x-p=0에서 p를 점근선의 좌표에 그대로 대입하지 않고, 식에 들어간 숫자의 부호를 반대로 해석한 것이다.
이 문제에서는 이미 수직점근선이 x=2이므로 분모가 0이 되는 식이 x-2=0이어야 한다. 실제로 x=2를 대입하면 분모가 0이 되어 함수값을 정할 수 없으므로 수직점근선은 x=2이다.
한 점을 대입해 남은 상수 결정하기
점 (3,5)를 식에 넣으면
5 = k/(3-2) - 1
5 = k - 1
이므로 k=6이다. 완성된 식은
y = 6/(x-2) - 1
이다. 점을 다시 확인하면 6/(3-2)-1=6-1=5가 되어 조건을 만족한다. 이때 답안에는 단순히 식만 쓰지 않고, x-2=0과 y-(-1)=0을 함께 적어 두 점근선이 어떻게 반영되었는지 남긴다.
풀이 줄 사이에 남겨야 할 연결
증포동에서 학교와 주거지 사이 이동 시간이 짧은 학생도, 귀가 시간이 더 걸리는 학생도 같은 방식으로 긴 풀이를 반복하기보다 다음 연결을 한 줄씩 기록할 수 있어야 한다.
- 수직점근선 x=2 → 분모 x-2
- 수평점근선 y=-1 → 뒤에 -1
- 주어진 점 (3,5) → 식에 대입하여 k 결정
문제를 보자마자 공식을 외워 쓰지 않고 이 세 관계를 먼저 적으면, p의 부호를 임의로 바꾸는 오류를 줄일 수 있다. 점근선과 점의 조건을 다시 확인하지 않은 채 다음 줄로 넘어가는 행동도 이 기록으로 드러난다.
조건을 바꾼 계산 세트에서 확인하기
훈련 뒤에는 같은 문제를 반복하지 않고 수직점근선과 수평점근선의 부호를 바꾼 문제를 시간 제한 안에 제시한다. 예를 들어 수직점근선이 x=-4, 수평점근선이 y=2, 그래프가 점 (-2,5)를 지난다면 먼저
x-(-4)=x+4, y-2
를 적어야 한다. 따라서
y = k/(x+4)+2
이고, 점을 대입하면
5 = k/(-2+4)+2 = k/2+2
이므로 k=6이다. 완성식은 y=6/(x+4)+2이다.
이처럼 조건이 바뀐 계산 세트에서 교사의 질문 없이 점근선을 먼저 식으로 옮기고, 주어진 점으로 k를 구하는지 확인한다. 정답을 맞혀도 식을 세우는 데 오래 걸렸다면 재확인 항목으로 남긴다.