증포동 고3수학과외, 공간벡터 오답의 첫 줄 찾기
증포동에서 고3 수학을 공부하는 학생은 이천고등학교 통학 시간과 주거지에서의 이동 시간을 함께 고려해 풀이 시간을 나누고 있다. 같은 이천시의 이천제일고등학교, 이현고등학교, 효양고등학교, 이천양정여자고등학교는 참고 학교이며 증포동 소재 학교로 단정하지 않고, 학생마다 실제 생활 리듬을 구분해 학습 기록을 남겼다.
마지막 답이 아니라 방향벡터에서 시작된 오류
학생은 다음 두 직선 사이의 거리를 구했다.
직선 \(l\): \(\mathbf{x}=(1,0,2)+s(1,2,-1)\)
직선 \(m\): \(\mathbf{x}=(3,1,0)+t(2,-1,1)\)
두 방향벡터와 두 직선 위의 점을 다음처럼 두었다.
\(\mathbf{u}=(1,2,-1),\quad \mathbf{v}=(2,-1,1),\quad \overrightarrow{PQ}=(2,1,-2)\)
학생의 오답은 다음과 같다.
\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2-2-1=-1\)
\(d=\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})|}{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}=9\)
이 식은 틀렸다. 두 직선 사이 거리 공식의 분모는 두 방향벡터의 내적이 아니라 외적의 크기이다. 내적은 두 방향의 각도와 관련되고, 외적은 두 방향벡터가 만드는 평행사변형의 넓이 및 공통 수직 방향과 관련된다. 학생은 \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\)를 법선 방향의 크기로 잘못 선택한 것이 최초 오류다.
조건과 식을 화살표로 연결한 수정
- 두 방향벡터가 비례하는가? \(\mathbf{u}\neq k\mathbf{v}\) → 평행하지 않음
- 공통 수직 방향은 무엇인가? \(\mathbf{u}\times\mathbf{v}\) → 거리 공식의 분모로 사용
- 두 직선 위 점의 차이는 무엇인가? \(\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,1,-2)\)
오답표의 틀린 줄에 먼저 표시한 뒤, 학생은 외적을 다시 계산했다.
\[ \mathbf{u}\times\mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 1&2&-1\\ 2&-1&1 \end{vmatrix} =(1,-3,-5) \]
따라서
\[ \overrightarrow{PQ}\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) =(2,1,-2)\cdot(1,-3,-5) =2-3+10=9 \]
\[ |\mathbf{u}\times\mathbf{v}|=\sqrt{1^2+(-3)^2+(-5)^2}=\sqrt{35} \]
그러므로 두 직선 사이의 거리는
\[ \boxed{d=\frac{9}{\sqrt{35}}} \]
학생은 수정한 결과를 역검산하기 위해 외적과 두 방향벡터의 내적을 확인했다.
\[ (1,-3,-5)\cdot(1,2,-1)=1-6+5=0 \]
\[ (1,-3,-5)\cdot(2,-1,1)=2+3-5=0 \]
외적 벡터가 두 직선의 방향벡터에 모두 수직이므로 분모 선택이 맞음을 확인했다. 또한 \(9\neq0\)이므로 두 직선의 방향이 평행하지 않으면서 같은 평면에 놓이지 않는 꼬인 위치임도 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 절차를 반복하지 않기 위해 계수와 점을 바꾼 새 문제를 사용했다.
\[ l_1:\mathbf{x}=(0,2,-1)+s(1,-1,2) \] \[ l_2:\mathbf{x}=(1,0,3)+t(2,1,1) \]
새 방향벡터와 점의 차이는
\[ \mathbf{a}=(1,-1,2),\quad \mathbf{b}=(2,1,1),\quad \overrightarrow{AB}=(1,-2,4) \]
방향벡터는 비례하지 않으며,
\[ \mathbf{a}\times\mathbf{b}=(-3,3,3) \]
\[ \overrightarrow{AB}\cdot(\mathbf{a}\times\mathbf{b}) =(1,-2,4)\cdot(-3,3,3) =-3-6+12=3 \]
따라서 두 직선은 꼬인 위치이고,
\[ |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=3\sqrt3,\qquad d=\frac{|3|}{3\sqrt3}=\boxed{\frac1{\sqrt3}} \]
이번 검증에서도 학생은 내적을 분모로 쓰지 않고, 방향벡터 비례 여부 → 외적 계산 → 점의 차와 외적의 내적 → 거리 계산 순서를 첫 줄부터 유지했다.