의정부고2수학과외: 사잇값 정리의 조건을 계산 줄에서 확인하기
의정부역센트럴자이나 장암동 등에서 학교와 자습 장소를 오가는 시간에는 긴 풀이보다 한 줄의 조건을 정확히 남기는 연습이 효과적이다. 함수의 연속 문제에서는 사잇값 정리의 결론보다 먼저 닫힌구간 전체에서 연속인지 확인해야 한다.
해가 없어도 생기는 사잇값 정리 오답
다음 함수를 생각해 보자.
f(x) = (x2−1)/(x−1) (x≠1), f(1)=0
구간 [0, 2]에서 f(x)=2인 해가 존재한다고 판단하는 풀이에서 다음과 같은 첫 줄이 나왔다.
| 학생이 적은 줄 | 확인하여 고친 줄 |
|---|---|
| f는 [0, 2]에서 연속이므로 사잇값 정리를 적용한다. | f는 [0, 2]에서 연속이 아니므로 사잇값 정리를 적용할 수 없다. |
달라진 기호는 연속 조건의 판단인 연속이다 → 연속이 아니다이다. 식을 약분하면 x≠1에서 f(x)=x+1이지만, x=1에서는 원래 함수의 값이 0이다. 따라서
limx→1 f(x)=2이지만 f(1)=0이므로 x=1에서 불연속이다.
학생이 “f(0)=1, f(2)=3이고 2가 그 사이에 있으므로 해가 있다”고 쓴 것은 끝값만 확인한 오류다. 실제로 x≠1에서 f(x)=2를 풀면 x+1=2에서 x=1을 얻지만, 이 값은 약분 전 식의 정의역에서 제외된다. 또한 f(1)=0이므로 원래 함수에서도 f(1)=2가 아니다. 따라서 구간 [0,2] 안에 f(x)=2인 해는 존재하지 않는다.
닫힌구간 연속성을 먼저 표시하는 풀이
사잇값 정리를 적용할 때는 다음 세 가지를 한 줄씩 확인해야 한다.
- f가 [a,b]에서 연속인가?
- f(a)와 f(b)를 계산했는가?
- 목표값 k가 f(a)와 f(b) 사이에 있는가?
분수식, 루트식, 로그식처럼 특정 값에서 정의되지 않을 수 있는 함수라면 구간 내부의 끊기는 점을 먼저 찾는다. 이 문제에서는 x=1이 분모를 0으로 만드는 지점이므로, 끝값 계산보다 앞서 연속성을 확인해야 한다.
표에서 조건을 옮기는 검증
다음 표가 주어졌다고 하자.
| x | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| g(x) | −3 | 정의되지 않음 | 4 |
이 표만으로 “g(x)=0인 해가 (0,2)에 존재한다”고 결론 내릴 수 있을까? 아니다. g가 [0,2]에서 연속이라는 조건이 없고, x=1에서 정의되지 않았기 때문이다. 사잇값 정리를 쓰려면 표의 부호 변화만 옮길 것이 아니라 먼저
g가 [0,2]에서 연속인지 확인 → 연속이면 g(0)<0<g(2) 확인 → 그때 g(c)=0인 c의 존재를 결론
이라는 순서를 적어야 한다. 표에 불연속 지점이 표시되어 있다면 부호가 바뀌어도 사잇값 정리의 적용 근거가 사라진다.
통학 뒤 짧은 자습 시간에는 문제 전체를 다시 베끼기보다, 답안 첫 줄에 구간과 연속 여부를 쓰고 불연속 후보를 표시하는 방식으로 풀이를 점검할 수 있다. 새로운 표나 식을 만났을 때도 끝값만 보고 결론을 내리지 않고, 닫힌구간 내부에 정의되지 않는 값이 있는지부터 확인하는지가 판단의 기준이다.