대칭 조건의 첫 모순을 찾는 의정부 고3 수학과외
의정부광동고등학교 학생은 방과 후 의정부역센트럴자이 인근에서 수업을 마친 뒤 자습 시간을 확보하기 위해, 이동 중 풀이한 공간좌표 오답을 표로 정리하고 있다. 최근에는 답을 빨리 맞히는 것보다 좌표식·그림·검산 중 어디에서 처음 관계가 어긋났는지 찾는 연습에 집중했다.
원점 대칭과 평면 대칭을 혼동한 오답
점 A(2,-1,3)을 yz평면에 대칭시킨 점을 구하는 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.
A의 대칭점은 A′(-2,1,-3)이다.
이 식은 yz평면 대칭의 정답이 아니다. 모든 좌표의 부호를 바꾼 (-2,1,-3)은 원점 대칭을 적용한 결과다. yz평면은 x=0인 평면이므로 평면까지의 거리를 유지하면서 x좌표만 반대 부호가 되어야 한다.
따라서 올바른 식은
A′(-2,-1,3)
이다. 실제로 A와 A′의 중점은
((2+(-2))/2, (-1+(-1))/2, (3+3)/2)=(0,-1,3)
으로 yz평면 위에 있고, 두 점을 잇는 방향벡터는 (-4,0,0)이므로 yz평면의 법선방향과 일치한다. 이 두 조건이 동시에 성립해야 평면 대칭이다.
해설의 결론보다 먼저 확인한 줄
학생은 오답표에서 처음부터 ‘대칭점은 (-2,1,-3)’이라고 결론만 옮기고 있었다. 이를 고치기 위해 틀린 좌표에 밑줄을 긋고, 먼저 대칭의 기준을 변수 관계로 바꾸어 적었다.
- 원점 대칭: (x,y,z)→(-x,-y,-z)
- yz평면 대칭: (x,y,z)→(-x,y,z)
- xz평면 대칭: (x,y,z)→(x,-y,z)
- xy평면 대칭: (x,y,z)→(x,y,-z)
그다음 원래 점과 후보점의 중점이 기준 평면에 놓이는지, 연결선이 평면에 수직인지 확인했다. 원점 대칭 후보 A′(-2,1,-3)을 대입하면 중점은 (0,0,0)이지만, yz평면 대칭에서 필요한 y,z 좌표 보존 조건이 깨진다. 이 지점이 그래프와 식이 처음 모순되는 위치다.
조건을 바꾼 새 문제로 검증
같은 계산을 반복하지 않고, 점 B(-3,4,1)을 평면 x=2에 대칭시킨 점을 다시 구했다. 평면 x=2와 점 B의 x좌표 차이는 -3-2=-5이므로 대칭점의 x좌표는 반대쪽으로 5만큼 이동한 7이다.
따라서
B′(7,4,1)
이고, 두 점의 중점은
((-3+7)/2, (4+4)/2, (1+1)/2)=(2,4,1)
으로 평면 x=2 위에 있다. y,z좌표가 그대로 유지되고 연결선이 x축 방향이므로 조건을 모두 만족한다. 이번에는 원점 대칭처럼 (3,-4,-1)을 쓰지 않고, 대칭면의 방정식과 보존되는 좌표를 먼저 확인해 오류를 제거했다.