의정부고1수학과외, 역함수는 두 방향 합성으로 확인하기
의정부역센트럴자이에서 학교 수업을 마치고 이동하거나 민락동·장암동 쪽으로 귀가하기 전 짧은 자습시간을 확보할 때, 역함수 문제는 풀이의 첫 줄을 분명히 정하는 것이 중요하다. 역함수 기호를 단순한 분수처럼 읽으면 식을 빠르게 적어도 함수 관계를 놓치게 된다.
역수와 역함수는 전혀 다른 식이다
함수 f(x)=2x-3의 역함수를 구해 보자. 먼저 y=2x-3으로 놓고 x와 y를 바꾼다.
x=2y-3
2y=x+3이므로 y=(x+3)/2이다. 따라서
f-1(x)=(x+3)/2
반면 1/f(x)=1/(2x-3)은 역함수가 아니다. 전자는 입력과 출력의 역할을 바꾼 함수이고, 후자는 함수값의 역수이므로 만들어지는 관계 자체가 다르다.
답안에서 생긴 실제 혼동
풀이에서 학생은 f-1(x)=1/(2x-3)이라고 적었다. x와 y를 교환하는 줄은 쓰지 않았고, 역함수 기호를 분수의 역수로 처리했다. 이는 계산 실수라기보다 역함수의 정의와 식 변환을 연결하지 못한 상태에 가깝다.
이 식이 맞는지 합성으로 확인하면 곧바로 드러난다.
f(1/f(x))=2/(2x-3)-3
이 식은 일반적으로 x와 같지 않다. 예를 들어 x=2이면 값은 2-3=-1이지만 원래 입력값 2로 돌아오지 않는다.
두 방향의 합성을 답안에 남긴다
올바른 역함수를 g(x)=(x+3)/2라고 하면 다음 두 식이 모두 성립한다.
f(g(x))=2((x+3)/2)-3=x
g(f(x))=((2x-3)+3)/2=x
한 방향만 확인하면 식의 일부 오류를 놓칠 수 있으므로, 풀이를 시작하기 전에 “두 함수가 서로 역함수인지 두 방향 합성으로 확인”이라고 적는다. 계산을 마친 뒤에는 실제로 두 합성이 각각 x가 되었는지 다시 표시한다.
역함수 문제의 판단 순서: x와 y의 역할 교환 → 식 정리 → 두 방향 합성 확인
점의 좌표로 순서까지 검산하기
함수 f(x)=2x-3에서 x=4이면 y=5이므로 그래프 위 점은 (4,5)이다. 역함수 그래프에서는 좌표가 바뀌어 (5,4)가 된다. 따라서 역함수 g(x)=(x+3)/2에 x=5를 넣으면 g(5)=4가 되어 원래 점과 대응한다.
x와 y의 순서를 바꾸지 않고 점을 그대로 적었다면, 합성식뿐 아니라 좌표의 위치도 어긋난다. 의정부의 학교 프린트와 교과서 문제를 짧게 복습할 때에도 식 옆에 원래 점과 바뀐 점을 함께 적으면 이 오류를 확인할 수 있다.
새 계수에서 같은 판단을 재현하는지 확인한다
일주일 뒤에는 기존 식을 그대로 반복하지 않고 p(x)=(2x+1)/3을 제시한다. y와 x를 교환하면
x=(2y+1)/3
3x=2y+1, 따라서 y=(3x-1)/2이다.
학생이 p-1(x)=(3x-1)/2를 구한 뒤 다음을 스스로 적는지 본다.
p(p-1(x))=(2((3x-1)/2)+1)/3=x
p-1(p(x))=(3((2x+1)/3)-1)/2=x
또한 p(2)=5/3이므로 역함수에서는 점 (5/3,2)가 대응한다는 점까지 확인한다. 시간이 부족한 날에는 문제를 즉시 끝내려 하지 않고, 두 방향 합성과 좌표 순서 중 어디까지 확인했는지 표시한 뒤 귀가 후 그 지점에서 복귀한다. 이 보류·복귀 기준을 지키면서도 역수와 역함수를 구별하고, x와 y의 순서를 먼저 확인하는지가 학습 상태를 판단하는 기준이 된다.