한 점의 기울기와 구간의 기울기를 바꿔 적은 계산 줄
호원동고2수학과외에서는 풀이 결과보다 계산 줄에 어떤 변화율을 사용했는지 먼저 확인한다. 호원고등학교까지의 이동 시간이나 귀가 시각에 따라 학습 가능한 시간이 달라질 수 있으므로, 짧은 풀이에서도 평균변화율과 순간변화율을 구분해 기록하는 습관이 필요하다.
함수 f(x)=x2+1에서 x=1부터 x=3까지의 평균변화율을 구하면
(f(3)-f(1))/(3-1)=(10-2)/2=4
이다. 이 값은 두 점 (1, 2), (3, 10)을 잇는 할선의 기울기다.
f′(1)=2를 평균변화율로 쓰면 안 되는 이유
풀이 중 다음과 같이 적은 경우가 있었다.
“x=1에서의 변화율은 f′(1)=2이므로 평균변화율도 2이다.”
여기서 f′(1)=2는 x=1에서의 순간변화율, 즉 접선의 기울기다. 문제에서 요구한 것은 x=1과 x=3 사이 전체의 평균변화율이므로 분모에 두 x값의 차이 3-1을 사용해야 한다. 한 점의 도함숫자와 두 점 사이의 변화율은 계산 대상 자체가 다르다.
계산할 때는 문제의 표현 옆에 다음처럼 표시한다.
두 점 사이 → (f(b)-f(a))/(b-a)
한 점에서 → f′(a)
숫자 하나를 바꾼 미니문제로 오류 줄 남기기
이번에는 같은 함수에서 x=1부터 x=4까지의 평균변화율을 구한다.
f(4)=17, f(1)=2이므로
(f(4)-f(1))/(4-1)=(17-2)/3=5
이다. 반면 f′(x)=2x이므로 f′(1)=2, f′(4)=8은 각각 해당 점에서의 순간변화율이다. 따라서 평균변화율 5를 구하는 줄에 f′(1)이나 f′(4)를 적었다면, 오류 줄은 미분 계산이 아니라 ‘구간의 두 끝점 대신 한 점의 도함숫자를 선택한 부분’이다.
서술형으로 확인한 변화율의 선택
선택지 없이 다음 문제를 풀이한다.
g(x)=3x2-2x에서 x=2부터 x=5까지의 평균변화율과 x=2에서의 순간변화율을 각각 구하여라.
평균변화율은 g(5)=65, g(2)=8이므로
(65-8)/(5-2)=19
이다. 도함수는 g′(x)=6x-2이므로 순간변화율은 g′(2)=10이다. 두 답이 다르며, 풀이에는 반드시 각각의 계산 근거가 남아 있어야 한다. 구간의 양 끝값을 먼저 계산하고 분모 5-2를 썼다면 평균변화율을 독립적으로 구분한 것이다.