호원동고1수학과외, y=k/x에서 k의 부호와 사분면 연결하기
호원고등학교 프린트의 유리함수 문제를 풀 때 y=k/x를 보고 바로 계산으로 넘어가면 그래프의 위치를 놓치기 쉽다. 특히 호원동에서 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 공부 시간이 짧은 학생일수록, 답안에 부호와 사분면의 연결을 먼저 남기는 습관이 풀이의 기준이 된다.
그래프의 위치는 k가 결정한다
기본형 y=k/x에서는 x와 y의 곱이 항상 k이다.
xy=k
x와 y의 부호가 같으면 xy는 양수이므로 k>0이다. 따라서 그래프는 제1사분면과 제3사분면에 놓인다. 반대로 x와 y의 부호가 다르면 xy는 음수이므로 k<0이고, 그래프는 제2사분면과 제4사분면에 놓인다. x=0에서는 식이 정의되지 않으며, y=0도 k≠0일 때는 될 수 없으므로 두 축에 그래프가 닿지 않는다.
답안에서 빠진 한 줄
예를 들어 점 (-3, 2)를 지나는 유리함수의 기본형을 구하는 문제에서 학생은 다음처럼 적었다.
k=(-3)×2=-6, 따라서 y=-6/x
계산 결과는 맞지만, 학생은 k의 부호와 그래프의 사분면을 표시하지 않은 채 다음 풀이줄로 넘어갔다. 이 상태에서는 k=-6이므로 제2·제4사분면이라는 그래프 정보를 사용하지 못한다. 부호를 계산한 것과 그 부호가 좌표 평면에서 어떤 위치를 뜻하는 것을 연결하지 못한 사례다.
계산 전에 좌표 부호를 읽는 순서
같은 문제를 풀 때는 점의 좌표를 먼저 부호로 분류한다.
- x=-3은 음수, y=2는 양수이다.
- x와 y의 부호가 다르므로 xy<0이다.
- 따라서 k<0이고 그래프는 제2·제4사분면에 있다.
- k=xy=(-3)×2=-6이므로 식은 y=-6/x이다.
이렇게 쓰면 좌표의 부호 → k의 부호 → 그래프의 사분면이 한 줄의 계산으로 이어진다. 그래프를 그릴 때도 제2사분면의 점 (-3, 2)와 제4사분면의 점 (3, -2)를 임의로 반대 위치에 표시하지 않게 된다.
부호를 바꾼 조건에서 다시 확인하기
조건을 바꾸어 점 (4, -3)을 지나는 함수로 확인한다. 이번에는 x가 양수이고 y가 음수이므로 두 부호가 다르다.
k=xy=4×(-3)=-12
따라서 함수는 y=-12/x이고 그래프는 제2·제4사분면에 놓인다. 학생이 숫자 -12의 모양만 보고 판단하는지, 아니면 x와 y의 곱이라는 문자 관계를 근거로 설명하는지를 살핀다. “x와 y의 부호가 달라서 xy와 k가 음수이고, 그러므로 제2·제4사분면이다”라고 말하면 연결 과정이 유지된 것이다.
짧은 시간에도 남겨야 할 풀이 흔적
호원동에서 귀가 후 확보되는 시간이 학교와 주거지 거리에 따라 다르더라도, 유리함수 한 문제를 풀 때 다음 세 표현은 답안에 남긴다.
- xy=k
- x와 y의 부호 관계
- k의 부호에 따른 사분면
정답 식만 맞히는 것이 아니라 계산 근거를 먼저 말할 수 있는지 확인한다. 새로운 계수나 좌표가 주어져도 숫자를 보고 외우는 대신, x와 y라는 문자 부분의 부호 관계에서 k와 그래프의 위치를 스스로 결정해야 한다.