호원동 고3수학과외: 공간벡터에서 첫 번째 오답 찾기
호원동에는 2025년 주소 기준 호원고등학교가 확인되며, 같은 의정부시의 송양고등학교·송현고등학교·효자고등학교·상우고등학교는 별도의 참고 학교이다. 학교와 주거지 사이의 이동 시간에 따라 풀이를 정리할 수 있는 시간이 달라질 수 있어, 짧은 시간에도 첫 오류를 찾는 방식이 중요하다.
평면벡터 공식을 그대로 옮긴 첫 줄
학생은 공간에서 평면 2x-y+2z=5의 법선벡터를 구하는 문제를 풀며 다음과 같이 적었다.
평면의 방향벡터는 (2,-1,2)이므로 법선벡터는 n=(2,-1,2)이다.
따라서 점 P(1,0,2)를 지나고 이 평면에 수직인 직선은
(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,2)
이 식은 오답이다. (2,-1,2)는 평면의 법선벡터이지 평면 안에서 움직이는 방향벡터가 아니다. 또한 주어진 평면의 법선벡터는 계수에서 바로 읽을 수 있으므로, 학생의 첫 줄에서 ‘방향벡터’라고 정의한 부분이 실패 지점이다. 법선벡터를 이용한 직선의 식 자체는 맞지만, 문제에서 요구한 대상과 설명이 뒤섞였다.
정의와 부호가 바뀌는 지점을 분리하기
학생은 틀린 줄에 색연필로 표시한 뒤, 풀이 전체를 다시 쓰지 않고 다음처럼 문자 메모를 남긴다.
- N: 평면의 법선벡터
- V: 평면 위의 방향벡터
- L: 법선벡터를 방향으로 갖는 수직선
평면의 일반식 ax+by+cz=d에서 법선벡터는 n=(a,b,c)이다. 따라서 이 문제에서는
n=(2,-1,2)
이고, 평면 위의 방향벡터 v=(u,v,w)는 반드시
n·v=2u-v+2w=0
을 만족해야 한다. 예를 들어 v=(1,2,0)이면 2-2+0=0이므로 평면과 평행한 방향벡터가 된다. 반면 점 P를 지나 평면에 수직인 직선은 법선벡터를 방향으로 사용하므로
(x,y,z)=(1,0,2)+t(2,-1,2)
이다. 실제 대입으로 확인하면 x=1+2t, y=-t, z=2+2t이고, t=0일 때 P를 지나며 직선의 방향벡터와 평면의 방향벡터 (1,2,0)의 내적은
(2,-1,2)·(1,2,0)=2-2+0=0
이다. 따라서 직선은 평면에 수직이고, 처음의 잘못된 ‘방향벡터’라는 표현만 정확히 수정해야 한다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 평면 3x+2y-z=4와 점 Q(2,-1,1)을 사용한다. 학생은 공식만 기계적으로 쓰지 않고 먼저 계수와 역할을 확인한다.
법선벡터는 n=(3,2,-1)이므로 Q를 지나 평면에 수직인 직선은
(x,y,z)=(2,-1,1)+s(3,2,-1)
이다. 직선의 방향벡터가 (3,2,-1)이고, 평면 위 방향벡터의 한 예로 (1,0,3)을 택하면
(3,2,-1)·(1,0,3)=3-3=0
이므로 두 방향은 수직이다. 학생은 이 검산을 통해 ‘평면의 방향벡터’와 ‘평면의 법선벡터’를 구분하고, 공간벡터에서도 내적의 역할을 같은 순서로 적용한다.