장암동고2수학과외: 연속과 미분가능성을 계산 줄에서 구별하기
장암주공2단지와 장암우성아파트 생활권에서 의정부시 내 학교로 통학하는 학생들은 학교별 프린트와 주간 평가 범위에 따라 함수 문제를 접하는 순서가 달라질 수 있다. 그러나 연속과 미분가능성을 묻는 문항에서는 풀이의 중간 줄을 생략하면 같은 오답이 반복된다.
불연속점을 지나친 풀이
다음 함수가 모든 실수에서 연속인지 판단해 보자.
f(x) = { x+1 (x<1), 3 (x=1), x2-1 (x>1) }
x=1에서 왼쪽 극한은
limx→1- f(x) = 1+1 = 2
오른쪽 극한은
limx→1+ f(x) = 12-1 = 0
따라서 좌극한과 우극한이 다르므로 limx→1f(x)는 존재하지 않는다. 함숫값 f(1)=3을 계산했더라도 연속이 될 수 없다.
답안에서 이 지점을 건너뛰고 “각 식이 다항함수이므로 연속이다”라고 쓴다면, 각 구간의 식이 연속이라는 사실과 함수 전체가 연속이라는 판단을 섞은 것이다. 구간이 나뉘는 경계에서는 반드시 좌극한, 우극한, 함숫값을 따로 확인해야 한다.
|x|에서 연속이라고 미분가능한 것은 아니다
반대로
g(x)=|x|
는 x=0에서 연속이다. 실제로
limx→0|x|=0=g(0)
이다. 하지만 미분가능성은 좌미분계수와 우미분계수를 비교해야 한다.
좌미분계수 = limh→0- (|h|-0)/h = h/h = 1
우미분계수 = limh→0+ (|h|-0)/h = (-h)/h = -1
두 값이 다르므로 g'(0)은 존재하지 않는다. 따라서 “|x|는 x=0에서 연속이므로 미분가능하다”는 결론은 틀렸다. 연속은 미분가능하기 위한 필요조건이지만, 연속만으로 미분가능성이 보장되지는 않는다.
비워 둔 계산 줄을 규칙으로 복원하기
풀이의 일부가 다음처럼 비어 있다고 하자.
limx→0|x| = 0 = g(0)
좌미분계수 = □
우미분계수 = □
∴ g'(0) = □
먼저 연속 판정에 사용한 규칙은 limx→ag(x)=g(a)이다. 그다음 미분가능 판정에서는 좌우에서의 변화율이 같아야 한다. 이 규칙을 거꾸로 적용하면 빈칸에는 각각
1, -1, 존재하지 않는다
가 들어간다. 원래 식을 다시 복원해 좌측에서는 |h|=-h, 우측에서는 |h|=h임을 확인해야 부호를 거꾸로 적지 않는다.
새 경계에서 조건을 다시 세우는 확인
다음 함수의 x=2에서 연속성과 미분가능성을 각각 판단해 보자.
p(x) = { x2 (x≤2), 3x-2 (x>2) }
함숫값은 p(2)=4이고, 왼쪽 극한도 4, 오른쪽 극한은 3·2-2=4이므로 x=2에서 연속이다. 그러나 좌미분계수는 2x|x=2=4, 우미분계수는 3이다. 좌우 미분계수가 다르므로 미분가능하지 않다.
이 문제의 풀이 중간에 p(2)=4만 남아 있다면, 함숫값만으로 결론을 내리지 말고 좌극한·우극한·좌우 미분계수를 스스로 채워야 한다. 세 값이 같아야 연속이고, 미분가능성까지 확인하려면 좌우 변화율도 같아야 한다는 순서를 새로운 경계점에서도 유지하는지가 판단 기준이다.