장암동고1수학과외, 합성과 역함수의 연산 순서 구별하기
장암동 장암주공2단지나 장암우성아파트 생활권에서 학교 프린트와 교과서 문제를 함께 정리할 때, 역함수 기호를 보고 곧바로 역수로 바꾸는 풀이가 나타날 수 있다. 의정부시 내 송양고등학교, 송현고등학교, 효자고등학교, 상우고등학교 등 통학권 참고 학교의 학생들도 이 부분에서는 문제의 표현보다 함수 사이의 관계를 먼저 읽어야 한다.
f−1(x)는 1/f(x)가 아니다
f(x)=2x−3일 때 역함수를 구하려면 먼저
y=2x−3
에서 x와 y의 위치를 바꾼다.
x=2y−3
이제 y에 관해 정리하면
y=(x+3)/2
이므로 f−1(x)=(x+3)/2이다. 반면 1/f(x)=1/(2x−3)은 전혀 다른 함수다. 실제로 x=3을 대입하면 f−1(3)=3이지만 1/f(3)=1/3이다.
교환한 뒤 무엇을 정리하는지가 역함수 풀이의 기준
수업 중 학생은 f−1(x)가 포함된 식을 보고 분수 형태로 바꾸었고, x와 y를 교환한 흔적은 적지 않았다. 이는 역함수의 계산 절차와 역수의 계산을 같은 것으로 처리한 사례다. 현재 필요한 것은 공식을 더 외우는 일이 아니라, 함수의 입력과 출력이 뒤바뀌었다는 관계를 식으로 나타내는 것이다.
예를 들어 f(x)=3x+2, g(x)=x−1일 때
(f−1∘g)(x)=f−1(g(x))
이다. 먼저 g(x)를 계산하고, 그 결과를 f−1에 넣는다. f의 역함수는 y=3x+2에서 x와 y를 바꾸어 x=3y+2, 따라서 f−1(x)=(x−2)/3이다. 그러므로
(f−1∘g)(x)=((x−1)−2)/3=(x−3)/3
가 된다. 반대로 (g∘f−1)(x)는 먼저 (x−2)/3을 구한 뒤 1을 빼므로
(g∘f−1)(x)=(x−2)/3−1=(x−5)/3
이다. 합성은 기호의 왼쪽부터 계산하는 것이 아니라, 괄호 안쪽에 해당하는 함수부터 적용한다.
풀이 옆에 남겨야 할 두 줄
- 역함수 구하기: y=f(x)에서 x와 y를 교환한 뒤 y에 대해 정리한다.
- 합성함수 계산하기: (f∘g)(x)=f(g(x))이므로 g를 먼저 적용한다.
앞의 f(x)=3x+2에 x=5를 넣으면 f(5)=17이고, f−1(17)=(17−2)/3=5이다. 이렇게 원래 함수와 역함수를 서로 이어 보아 입력값이 돌아오는지 확인하면, 역수로 바꾼 식과 쉽게 구별할 수 있다.
수치가 바뀐 문제에서 순서를 설명하는지 확인하기
훈련 뒤에는 같은 식을 다시 쓰지 않고 p(x)=4x−5, q(x)=2x+1에 대해 (p−1∘q)(3)을 제시한다. p의 역함수는 y=4x−5에서 x와 y를 바꾸어 x=4y−5, 따라서 p−1(x)=(x+5)/4이다. 먼저 q(3)=7을 구하고, p−1(7)=(7+5)/4=3을 얻는다.
이때 답만 3이라고 쓰는지, “q(3)을 먼저 구한 뒤 p의 역함수에 대입했다”고 설명하는지를 함께 본다. 역함수식을 만들 때 x와 y를 교환했는지도 확인한다. 합성 순서와 역함수 변환을 각각 말할 수 있어야 새로운 표현에서도 절차가 유지된 것이다.
기호가 아니라 조건을 읽는 최종 점검
처음 보는 유사문제에서 학생이 작도 흔적처럼 외운 모양만 따라가는지 살핀다. 함수 문제의 경우에는 어떤 입력이 먼저 바뀌었고, 역함수에서 어떤 출력과 입력을 같게 두었는지를 설명해야 한다. 기호의 위치를 기계적으로 바꾸는 데 그치지 않고 실제로 어떤 값이 같은 관계를 이루는지 말할 때, 합성과 역함수가 함께 있는 식에서도 연산 순서를 스스로 결정할 수 있다.