장암동 고3수학과외: 좌표식보다 먼저 확인한 대칭의 조건
장암동에서 공부하는 학생은 의정부시 통학권의 송양고등학교, 송현고등학교, 효자고등학교, 상우고등학교, 동국대학교사범대학부속영석고등학교 등을 참고해 주간 학습 일정을 조정하고 있었다. 학교별 내신 운영과 통학 시간은 다르지만, 최근 공통적으로 드러난 문제는 공간도형의 좌표 풀이에서 결론만 옮겨 적고 최초 오류를 찾지 않는 습관이었다.
중간식에서 사라진 수직 조건
대칭평면 x=z에 대하여 두 점 P(3,1,0), Q(0,1,3)이 서로 대칭인지 판별하는 문제를 풀 때 학생은 다음과 같이 적었다.
중점은 M(3/2,1,3/2)이므로 x=z 위에 있다.
→PQ=(-3,0,3), 평면의 법선벡터를 n=(1,0,-1)이라 하면
→PQ·n=-3-3=-6≠0이므로 대칭이 아니다.
이 결론은 틀린 오답이다. 선분 PQ가 평면에 수직이라는 것은 방향벡터와 평면의 법선벡터가 수직이라는 뜻이 아니라, 두 벡터가 평행하다는 뜻이다. 따라서 내적을 0으로 두는 규칙을 적용한 것이 최초 오류다.
중점 조건과 방향 조건을 분리한 수정
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 중간식 옆에 다음 규칙을 직접 적었다.
- 대칭점의 중점은 대칭평면 위에 있어야 한다.
- 두 점을 잇는 방향벡터는 평면의 법선벡터와 평행해야 한다.
- 평면까지의 거리는 두 점에서 같아야 한다.
먼저 중점은
M=((3+0)/2,(1+1)/2,(0+3)/2)=(3/2,1,3/2)
이므로 x=z를 만족한다. 다음으로
→PQ=Q-P=(-3,0,3)=-3(1,0,-1)=-3n
이므로 선분 PQ는 평면에 수직이다. 거리도 확인하면 평면 x-z=0에서
d(P)=|3-0|/√2=3/√2, d(Q)=|0-3|/√2=3/√2
로 같고, 두 점은 평면의 서로 반대쪽에 있다. 따라서 P와 Q는 평면 x=z에 대하여 서로 대칭이다.
학생은 마지막에 대칭변환 자체도 계산했다. 평면 x=z에 대한 반사는 좌표의 x와 z를 바꾸는 것이므로
P(3,1,0)→P'(0,1,3)=Q
가 되어 앞의 중점·방향·거리 검산과 일치했다.
조건을 바꾼 독립 검증
같은 숫자를 반복하지 않고 대칭평면을 x+y=0으로 바꾸어 새 문제를 풀었다. 점 R(2,1,3)의 대칭점을 구하면 평면의 법선벡터는 n=(1,1,0)이고, 반사 공식에 따라
R'=R-2×((2+1)/2)(1,1,0)=R-3(1,1,0)=(-1,-2,3)
이다. 중점은
((2-1)/2,(1-2)/2,(3+3)/2)=(1/2,-1/2,3)
이므로 x+y=0을 만족한다. 방향벡터는 R'-R=(-3,-3,0)=-3(1,1,0)이고, 두 점의 평면까지 거리는 각각 3/√2이다. 학생은 이번에는 내적을 0으로 처리하지 않고 평행 관계와 거리 조건을 함께 확인하여 대칭 여부를 정확히 판별했다.