용현동고2수학과외

용현동 고2수학과외: h=0을 먼저 넣으면 미분계수 정의가 무너지는 이유

용현동주공아파트처럼 학교와 주거지의 거리가 서로 다른 생활권에서는 풀이를 이어 갈 수 있는 시간이 학생마다 다를 수 있다. 그래서 짧은 시간에 미분계수 정의 문제를 풀더라도 계산을 서두르기보다, 식이 어떤 순서로 성립하는지 답안에 남기는 것이 중요하다. 용현동 내 확인된 동국대학교사범대학부속영석고등학교 학생이든 의정부시 내 다른 학교 학생이든 이 판단은 동일하게 적용된다.

극한을 계산하기 전에 차분몫의 조건부터 확인하기

함수 f(x)에서 x=a에서의 미분계수는

f′(a) = lim_h→0 {f(a+h)-f(a) \over h}

로 정의된다. 여기서 h는 0이 되는 값이 아니라 0에 가까워지는 변수다. 따라서 정의를 적용할 때는 먼저 h≠0인 차분몫을 만든 뒤, 그 식의 극한을 구해야 한다. 미분계수가 존재하려면 해당 극한이 유한한 값으로 존재해야 한다는 점도 함께 확인한다.

h=0을 대입해 0/0을 만든 오답

예를 들어 f(x)=x²일 때 x=2에서의 미분계수를 정의로 구해 보자.

학생의 오답표에는 다음과 같이 적혀 있었다.

h→0이므로 h=0을 대입하면
{f(2+0)-f(2) \over 0} = {4-4 \over 0} = {0 \over 0}

이 계산은 미분계수의 값이 0/0이라는 뜻이 아니다. 0/0은 계산 결과가 아니라 아직 정리되지 않은 부정형이며, 극한을 구하기 전에 분모에 직접 h=0을 넣었기 때문에 정의의 적용 순서를 어긴 것이다.

필요한 확인조건을 먼저 적으면 다음과 같다.

□ 차분몫을 먼저 정리한다: h≠0
□ h→0은 대입이 아니라 접근을 뜻한다
□ 정리된 식에서 마지막에 극한을 계산한다

이제 올바르게 계산하면

{f(2+h)-f(2) \over h} = {(2+h)²-2² \over h} = {4+4h+h²-4 \over h} = {h(4+h) \over h} = 4+h

마지막으로 h→0을 적용하므로

f′(2)=lim_h→0(4+h)=4

이다. 약분은 h≠0인 범위에서 이루어지며, 그 뒤에 극한을 취하는 과정이므로 처음부터 h=0을 대입한 것과 다르다.

정의가 성립하는 범위를 네모로 판별하는 연습

풀이 중간에 오답표의 문장이 보이면 다음 계산을 멈추고, 차분몫의 조건을 직접 표시하게 한다. 예를 들어 f(x)=3x-1의 x=5에서 미분계수를 구할 때는

{f(5+h)-f(5) \over h} = {(14+3h)-14 \over h} = 3  (h≠0)

이라고 먼저 쓴다. 따라서

f′(5)=lim_h→03=3

이다. 여기서도 h=0을 분수에 대입해 계산한 것이 아니라, h≠0인 차분몫을 정리한 후 극한값을 구했다.

식으로 바꾼 문항에서 순서를 다시 세우는지 확인하기

다음 문항은 앞의 숫자와 함수 형태를 바꾼 검증 문제다.

f(x)=x²-3x+1일 때, x=1에서의 미분계수를 미분계수의 정의로 구하여라.

먼저 학생이 h→0을 보고 바로 h=0을 넣는지 확인하지 않고, 답안에 다음 조건을 스스로 세우는지 본다.

h≠0인 차분몫을 만든 뒤 h→0

올바른 풀이를 쓰면

{f(1+h)-f(1) \over h} = {(1+h)²-3(1+h)+1-(1-3+1) \over h}

= {1+2h+h²-3-3h+1-(-1) \over h} = {h²-h \over h} = h-1

이므로

f′(1)=lim_h→0(h-1)=-1

이다. 이때 처음부터 h=0을 넣지 않고, h≠0 조건과 차분몫의 정리 과정을 남겼다면 새로운 식에서도 미분계수 정의의 성립 범위를 제대로 적용한 것이다.