용현동고1수학과외, 유리함수 점근선을 식에서 읽는 법
동국대학교사범대학부속영석고등학교까지 이동하는 시간과 용현동주공아파트 등 주거지에서 확보되는 학습 시간이 학생마다 다르므로, 짧은 학습 시간에도 식의 구조를 정확히 읽는 연습이 필요하다. 특히 y=k/(x-p)+q에서는 두 이동항의 역할을 분리해야 한다.
x-p가 0이 되는 위치가 수직점근선이다
예를 들어
y=6/(x-2)-1
에서 분모가 0이 되는 순간 함수값을 정할 수 없다. 따라서
x-2=0 → x=2
가 수직점근선이다. 반면 뒤의 -1은 그래프 전체를 아래로 옮기는 값이므로 수평점근선과 연결된다.
y-(-1)=6/(x-2)로 보면 구조가 더 분명해진다. 원래 그래프의 중심이 (2,-1)에 놓이고, 두 점근선은 각각 x=2, y=-1이다.
부호를 바꾸어 읽은 실제 오답
학교 프린트의 식을 정리하던 학생은 y=6/(x-2)-1에서 수직점근선을 x=-2라고 적었다. 풀이 여백에는 분모를 0으로 놓은 계산이나 x-p와 +q를 점근선에 연결한 흔적이 없었다. 식의 모양을 기억해 답을 적었지만, 분모가 정의되지 않는 값을 직접 찾지는 않은 장면이다.
이 오답은 x-p=0을 풀 때 -p로 옮겨야 한다고 잘못 판단해서 생긴다. 실제로 x-2=0에서 양변에 2를 더하면 x=2이지 x=-2가 아니다. 수평점근선은 분모와 무관하게 y-q=0으로 확인한다. 여기서는 y-(-1)=0, 즉 y=-1이다.
식 전체를 점근선의 형태로 바꾸어 확인하기
풀이할 때 바로 답을 쓰지 않고 다음 두 줄을 먼저 만든다.
- x-p=0 → 수직점근선
- y-q=0 → 수평점근선
이를 식에 적용하면 y=6/(x-2)-1에서 p=2, q=-1이므로 점근선은 x=2, y=-1이다. 그래프가 이 직선에 닿는지를 따지는 것이 아니라, 분모가 0이 되는 위치와 그래프가 가까워지는 높이를 각각 읽는 것이 판단의 기준이다.
수직점근선은 분모를 0으로 만드는 x값, 수평점근선은 이동된 y값으로 확인한다.
조건이 붙은 문장제로 바꾸어 혼자 확인하기
훈련 뒤에는 같은 식을 다시 풀지 않고 다음 문항을 제시한다.
함수 y=-4/(x+3)+2의 그래프가 점 (1,1)을 지날 때, 두 점근선의 방정식을 구하여라.
학생이 먼저 분수의 기본 의미인 분모가 0이면 식이 정의되지 않는다는 점을 복구하면,
x+3=0 → x=-3
이므로 수직점근선은 x=-3이다. 식의 끝 항이 +2이므로 수평점근선은 y=2이다. 실제로 주어진 점도 확인할 수 있다.
-4/(1+3)+2=-1+2=1
따라서 (1,1)은 함수 위의 점이며, 추가된 조건은 점근선을 바꾸지 않고 함수식이 해당 점을 지나는지만 확인하게 한다. 수치와 분모의 부호가 달라져도 x+3=0, y-2=0을 스스로 적었다면 이전의 부호 오류를 새로운 조건 속에서도 수정한 것이다.
답지를 먼저 찾지 않고 이처럼 분모의 0 조건과 끝의 상수항을 직접 적어 보려는지가 용현동고1수학과외 학습에서 확인할 변화다. 같은 의정부시의 송양고등학교·송현고등학교·효자고등학교·상우고등학교는 참고 학교일 뿐 용현동 소재 학교로 구분하지 않으며, 학교와 주거지 사이 이동 시간에 따라 이 두 줄을 점검하는 학습량을 조절할 수 있다.