용현동 고3수학과외, 공간벡터의 방향과 법선을 구분하는 풀이
용현동주공아파트처럼 학교와 주거지의 거리가 다른 생활권에서는 풀이 시간을 확보하는 방식도 학생마다 달라진다. 이 학생은 문제를 읽자마자 내적을 계산한 뒤 각의 코사인 범위를 확인하지 않아, 풀이 근거를 줄마다 유지하는 연습이 필요했다.
세 성분의 곱을 모두 확인해야 하는 이유
공간벡터 a=(1,-2,3), b=(4,1,-1)의 내적을 구하는 문제에서 학생은 다음과 같이 적었다.
a·b=1×4+(-2)×1=2
이 식은 오답이다. 공간벡터의 내적은 대응하는 세 성분의 곱을 모두 더해야 하므로 세 번째 성분의 곱 3×(-1)=-3을 누락했다.
따라서 정확한 계산은
a·b=1×4+(-2)×1+3×(-1)=4-2-3=-1
이다. 두 벡터의 길이는 |a|=√14, |b|=√18=3√2이므로
cosθ=(a·b)/(|a||b|)=-1/(√14·√18)=-1/(6√7)
가 된다. 내적이 음수이므로 두 벡터가 이루는 각은 둔각이며, cosθ의 값도 -1과 1 사이에 있어야 한다. 누락된 식으로 계산한 2/(6√7)은 부호부터 달라 실제 방향 관계를 잘못 판단하게 된다.
방향벡터와 법선벡터를 따로 읽기
평면 2x-y+2z=5의 법선벡터는 n=(2,-1,2)이다. 법선벡터는 평면에 수직인 방향을 나타내며, 평면 위에서 움직이는 방향벡터 d는 법선벡터와 수직이므로 d·n=0을 만족해야 한다.
학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, 각 성분이 같은 순서로 대응되는지 확인했다. 이후 누락된 세 번째 곱을 추가해 식을 다시 쓰고, 법선벡터와 방향벡터의 내적이 0인지 대입으로 검산했다. 예를 들어 d=(1,2,0)이면
d·n=1×2+2×(-1)+0×2=2-2+0=0
이므로 d는 해당 평면과 평행한 방향이다. 반면 d=(1,1,1)은 d·n=2-1+2=3이어서 평면 위 방향으로 볼 수 없다.
조건을 바꾼 독립 검증
새로운 벡터 u=(2,1,-2), v=(-1,3,1)에 대해 내적과 끼인각의 코사인을 다시 구하게 했다.
u·v=2×(-1)+1×3+(-2)×1=-2+3-2=-1
|u|=3, |v|=√11이므로
cosθ=-1/(3√11)
이다. 학생은 이번에는 세 성분을 각각 표시하고, 내적이 음수이며 코사인이 -1과 1 사이인지 확인했다. 처음의 누락 후보인 -2+3=1은 세 번째 성분을 빠뜨린 값이므로 즉시 제거했다.