신곡동고2수학과외: 평균변화율과 순간변화율을 구분하는 풀이
신곡동에서 효자고등학교나 발곡고등학교 수업을 마친 뒤 신곡현대아파트 생활권으로 이동해 자습할 때는, 풀이량보다 한 문제의 조건을 정확히 읽는 시간이 중요하다. 특히 미분 단원에서는 두 점 사이의 변화를 묻는지, 한 점에서의 변화율을 묻는지에 따라 식 자체가 달라진다.
두 점의 변화인지, 한 점의 변화인지 먼저 표시하기
함수 f(x)의 구간 [a, b]에서 평균변화율은
(f(b) - f(a)) / (b - a)
이다. 이는 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 잇는 할선의 기울기다. 반면 x=a에서의 순간변화율은 미분계수
f′(a) = limh→0 {f(a+h)-f(a) \over h}
로, 한 점에서 접선이 갖는 기울기다. 따라서 평균변화율은 서로 다른 두 입력값이 필요하고, 순간변화율은 해당 점에서 미분계수가 존재해야 한다.
할선 문제에 접선의 기울기를 넣은 오답
예를 들어 f(x) = x2에서 구간 [1, 3]의 평균변화율을 구한다고 하자. 먼저 두 끝점을 사용해야 하므로
{f(3)-f(1) \over 3-1} = {9-1 \over 2}=4
가 정답이다.
그런데 답안에는 f′(x) = 2x를 구한 뒤 f′(1) = 2라고 적혀 있었다. 2는 x=1에서의 순간변화율이지, 구간 [1, 3] 전체의 평균변화율이 아니다. 문제에 구간의 양 끝값이 주어졌는데 한 점의 미분계수만 계산했다는 점에서 적용 대상이 바뀐 것이다.
풀이 첫 줄에 변화율의 범위를 남기는 연습
이 유형에서는 계산 전에 문제의 범위를 식으로 옮긴다.
평균변화율: x=1에서 x=3까지
순간변화율: x=1에서의 변화율
그다음 평균변화율 문제라면 반드시
{f(3)-f(1) \over 3-1}
을 먼저 적는다. 반대로 “x=1에서의 순간변화율”이라면
f′(1)=2
를 사용한다. 두 식을 나란히 쓰면 같은 함수에서도 질문의 범위에 따라 답이 4와 2로 달라지는 이유가 드러난다.
그래프로 바꾸어도 할선과 접선을 구별하는가
새 조건으로 f(x) = x2의 그래프에서 점 (2, 4)와 점 (5, 25)를 연결한 직선의 기울기를 묻는다면, 이는 두 점을 이용한 평균변화율이다.
{25-4 \over 5-2}=7
점 (2, 4)에서의 접선 기울기를 묻는 경우에는 f′(2) = 4를 계산해야 한다. 그래프에서 두 점을 잇는 직선은 할선, 한 점에만 닿는 직선은 접선이라는 관계까지 연결해야 새로운 표현에서도 판단이 유지된다. 답안에 ‘두 점 사용’ 또는 ‘한 점에서의 미분계수’라는 근거를 남겼는지를 확인하면 계산 결과만 맞힌 경우와 구별할 수 있다.