신곡동 고3수학과외, 공간벡터에서 빠진 성분 바로잡기
효자고등학교와 발곡고등학교가 있는 의정부시 신곡동에서는 통학과 방과후 이동 뒤 남는 자습시간을 활용해 풀이 과정을 짧게 기록하고 즉시 검산하는 연습이 중요하다. 신곡현대아파트 생활권에서 이동한 뒤 학생은 공간도형 문제의 계산 흔적을 다시 살폈다.
방향벡터와 법선벡터를 먼저 구분하기
평면 2x-y+z=4의 법선벡터는 계수에서 바로 읽어 n=(2,-1,1)이다. 반면 직선의 방향벡터는 직선이 움직이는 방향을 나타낸다.
직선이
(x,y,z)=(1,0,1)+t(2,1,-1)
로 주어졌다면 방향벡터는 d=(2,1,-1)이다. 법선벡터와 방향벡터의 내적은
n·d=2×2+(-1)×1+1×(-1)=2
이므로 직선은 평면과 평행하지 않으며 한 점에서 만난다.
z성분을 생략한 첫 풀이
학생은 대입 과정에서 공간벡터를 평면벡터처럼 취급해 다음과 같이 계산했다.
2(1+2t)-(t)=4 → 2+3t=4 → t=1/3
이 식은 오답이다. 점의 z좌표가 1-t인데 평면식의 +z 항을 빠뜨렸기 때문이다. 공간벡터에서는 x, y, z 세 성분이 모두 같은 매개변수와 연결되어 있으므로 하나라도 누락하면 교점이 달라진다.
성분을 복원한 수정과 검산
직선의 좌표를 평면식에 모두 대입하면
2(1+2t)-(t)+(1-t)=4
3+2t=4이므로
t=1/2이다.
학생은 틀린 줄에 z항 누락을 표시한 뒤, 방향벡터의 세 성분을 각각 좌표식에 대응시켰다. 교점은
(x,y,z)=(2,1,1/2)
이고 평면식에 역대입하면
2×2-1+1/2=4
가 되어 계산이 맞음을 확인할 수 있다. 또한 처음의 t=1/3을 대입하면 2(5/3)-1/3+2/3=11/3으로 4가 아니므로 오답임을 직접 확인했다.
조건을 바꾼 독립 검증
이번에는 평면과 직선을 바꾸어 확인했다.
평면: x+2y-z=5
직선: (x,y,z)=(1,1,0)+t(1,-1,2)
법선벡터와 방향벡터는 각각 n=(1,2,-1), d=(1,-1,2)이다. 내적은
n·d=1-2-2=-3
이므로 교점이 존재한다. 세 성분을 모두 대입하면
(1+t)+2(1-t)-2t=5
3-3t=5에서 t=-2/3이다. 교점은 (1/3,5/3,-4/3)이며, 실제로
1/3+2×5/3-(-4/3)=5
가 성립한다. z성분을 다시 빼면 (1+t)+2(1-t)=5에서 t=-2라는 잘못된 결과가 나오므로, 조건을 바꾼 문제에서도 세 성분의 관계를 유지해야 한다.