신곡동고1수학과외: 유리함수의 정의역에서 분모가 0인 값 제외하기
신곡동의 효자고등학교와 발곡고등학교 프린트를 풀 때 유리함수 식을 정리하는 속도는 빠르지만, 정의역을 적는 줄이 빠지는 경우가 있다. 신곡현대아파트 등 생활권에서 학교나 학원 이동 후 확보한 짧은 자습시간에는 계산보다 먼저 분모의 조건을 표시하는 습관을 점검해야 한다.
식의 정리보다 먼저 확인할 값
함수 f(x) = (2x+5)/(x-3)에서 분모는 x-3이다. 분모가 0이면 나눗셈이 불가능하므로
x-3 ≠ 0, 따라서 x ≠ 3
정의역은 모든 실수에서 3을 제외한 값이다. 분자의 값이 0이 되는지와 관계없이, 분모가 0이 되는 값은 함수에 넣을 수 없다.
다음 줄로 넘어가기 전에 사라진 조건
학교 프린트에서 다음과 같은 식을 만난 학생이 있었다.
g(x) = (x2-9)/(x-3) = (x+3)(x-3)/(x-3) = x+3
학생은 약분까지 한 뒤 정의역을 “모든 실수”라고 적었다. 그러나 처음 식의 분모는 x-3이므로 x=3에서는 원래 식이 정의되지 않는다. 약분한 결과는 x≠3일 때만 사용할 수 있으며, 정확한 표현은
g(x)=x+3 (단, x≠3)
이다. 실제로 x=3을 처음 식에 대입하면 분모가 0이 되어 계산할 수 없다. 약분은 식의 모양을 바꿀 뿐, 처음부터 제외된 값을 다시 정의하지 않는다.
풀이 앞뒤에 같은 조건을 표시하기
분모 조건이 빠지는 학생에게는 문제를 읽자마자 분모에 밑줄을 긋고, 그 옆에 x-3≠0을 쓰게 한다. 식을 변형한 뒤에는 답안 마지막에 이 조건을 다시 옮긴다. 예를 들어
h(x) = (x2+x-12)/(x-3)
에서는 분자를 인수분해하여
h(x) = (x+4)(x-3)/(x-3) = x+4
로 정리할 수 있지만, 풀이의 앞부분에서 얻은 x≠3은 끝까지 유지해야 한다. 풀이 전에는 “분모가 0이 되는 값”을 찾고, 풀이 후에는 그 값이 정의역에서 제외되어 있는지 확인하는 방식이다.
표현이 달라도 같은 조건 찾기
문제집에 “정의역을 구하라”고 쓰이지 않고 “함수가 정의되지 않는 x의 값을 구하라”고 적혀도 판단은 같다. 예를 들어
- p(x)=5/(x+2)에서는 x=-2를 제외한다.
- q(t)=(t-1)/(2t+6)에서는 2t+6≠0이므로 t=-3을 제외한다.
문자의 이름이나 질문 방식이 달라져도 분모를 0으로 만드는 값을 찾는다는 같은 개념으로 연결해야 한다.
조건을 바꾼 문제에서 확인한 판단
이후 계수와 문자를 바꾼 문제 r(a)=(3a-2)/(a+4)를 제시했다. 여기서 학생이 분모만 보고 a+4=0, 즉 a≠-4라고 먼저 적은 뒤 계산을 진행하는지 확인한다. 마지막에는 “분모를 0으로 만드는 a=-4를 정의역에서 제외하는 단계가 빠졌다”처럼 막힌 지점을 한 문장으로 설명하게 한다. 같은 식을 반복한 것이 아니라 표현과 수가 달라진 상황에서도 두 번의 조건 확인을 스스로 수행했는지가 기준이다.