산곡동고2수학과외에서 확인한 연속과 미분가능의 경계
“|x|은 x=0에서 연속이므로 미분가능하다.”
이 문장은 연속과 미분가능을 같은 성질로 판단한 대표적인 오답이다. 의정부시 산곡동에서는 해당 지역명 주소의 고등학교가 확인되지 않으므로, 송양고·송현고·효자고·상우고 등 의정부시 내 학교의 통학권을 참고하더라도 학교별 내신 일정과 학생의 주간 학습량은 서로 다르게 보아야 한다. 이때 고2 수학에서는 문제를 많이 푸는 것보다 함수의 조건을 먼저 판별하는 풀이가 중요하다.
연속의 세 조건과 미분가능의 추가 조건
함수 f(x)가 x=a에서 연속이려면 다음 세 조건이 모두 성립해야 한다.
- f(a)가 존재한다.
- limx→a f(x)가 존재한다.
- limx→a f(x)=f(a)이다.
반면 x=a에서 미분가능하려면 좌우에서 계산한 미분계수가 같은 하나의 값으로 존재해야 한다.
limh→0 {f(a+h)-f(a) \over h}
미분가능하면 반드시 연속이지만, 연속이라고 해서 반드시 미분가능한 것은 아니다.
|x|의 꼭짓점에서 멈춘 계산
학생의 풀이에서는 f(x)=|x|에 대해 x=0에서 연속임을 확인한 뒤 미분가능하다고 결론냈다. 연속성 판단 자체는 맞지만, 미분가능성은 별도로 계산해야 한다.
x>0이면 f(x)=x이므로 오른쪽 미분계수는 1이다. x<0이면 f(x)=-x이므로 왼쪽 미분계수는 -1이다.
좌미분계수=-1, 우미분계수=1이므로 두 값이 다르다. 따라서 |x|은 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 그래프의 꼭짓점에서 왼쪽 기울기와 오른쪽 기울기가 달라지는 것이 계산 결과와도 일치한다.
숫자를 바꾼 즉시 재현 문제
다음 함수의 x=2에서 연속성과 미분가능성을 각각 판별한다.
g(x)=|x-2|
x=2에서 g(2)=0이고, 양쪽에서 함수값은 0으로 가까워지므로 연속이다. 그러나
좌미분계수=-1, 우미분계수=1
이어서 미분가능하지 않다. 풀이 답안에는 먼저 “연속 조건 세 가지”를 확인한 뒤, 미분가능성에서 좌미분계수와 우미분계수를 따로 적도록 한다. 연속이라는 결론을 얻었다고 해서 미분가능성을 생략하면 안 된다.
문자 매개변수로 기준을 옮겨 보기
h(x)=|x-a|를 생각해 보자. 임의의 실수 a에 대해 x=a에서 함수는 연속이다. 하지만
limx→a- {h(x)-h(a) \over x-a}=-1,
limx→a+ {h(x)-h(a) \over x-a}=1
이므로 두 미분계수가 일치하지 않는다. 따라서 |x-a|는 x=a에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 숫자 0이나 2에 의존하지 않고, 절댓값 그래프의 꼭짓점 위치가 어떤 문자로 바뀌어도 같은 판단 기준을 적용해야 한다.