산곡동 고3수학과외: 좌표로 공간도형의 조건을 끝까지 확인하기
산곡동에는 해당 지역명 주소로 확인된 고등학교가 없으므로, 의정부시의 송양고등학교·송현고등학교·효자고등학교·상우고등학교·동국대학교사범대학부속영석고등학교 등을 통학권 참고 학교로만 볼 수 있다. 학교별 내신 운영과 학생의 주간 일정이 다를 수 있어, 이번 학습에서는 학교 정보보다 학생이 공간도형의 조건을 어떻게 해석하고 검산하는지에 초점을 두었다.
한 변의 거리만으로 정사면체라고 판단한 풀이
문제에서 세 점과 한 점을 다음과 같이 주었다.
\(A(1,1,1),\ B(1,-1,-1),\ C(-1,1,-1),\ D(-1,-1,1)\)일 때, 네 점이 정사면체의 꼭짓점인지 확인하고 \(\angle BAC\)를 구하여라.
학생은 먼저
\[ AB^2=(1-1)^2+(-1-1)^2+(-1-1)^2=8 \]
을 계산한 뒤, “한 변의 길이가 \(2\sqrt2\)이므로 정사면체이다”라고 결론 내렸다. 이 판단은 오답이다. 한 변 \(AB\)의 길이만 같다는 사실로는 네 점이 모두 같은 모서리를 갖는지 확인할 수 없다.
거리와 각을 함께 식으로 고정하기
정사면체인지 판별하려면 여섯 모서리의 길이를 모두 비교해야 한다.
- \(AB^2=8\)
- \(AC^2=(-2)^2+0^2+(-2)^2=8\)
- \(AD^2=(-2)^2+(-2)^2+0^2=8\)
- \(BC^2=(-2)^2+2^2+0^2=8\)
- \(BD^2=(-2)^2+0^2+2^2=8\)
- \(CD^2=0^2+(-2)^2+2^2=8\)
따라서 여섯 모서리의 길이가 모두 \(2\sqrt2\)로 같아 정사면체 조건을 만족한다. 이어서 각 조건도 확인한다.
\[ \overrightarrow{AB}=(0,-2,-2),\qquad \overrightarrow{AC}=(-2,0,-2) \]
\[ \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =0\cdot(-2)+(-2)\cdot0+(-2)\cdot(-2)=4 \]
또한 \(|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=2\sqrt2\)이므로
\[ \cos\angle BAC= \frac{4}{(2\sqrt2)(2\sqrt2)}=\frac12 \]
따라서 \(\angle BAC=60^\circ\)이다. 학생은 틀린 줄에 표시한 뒤, ‘정사면체 판별은 한 거리만이 아니라 여섯 거리의 일치와 필요한 내적 조건까지 확인한다’고 풀이 옆에 적었다. 마지막에는 \(AB^2=AC^2=AD^2=BC^2=BD^2=CD^2=8\)을 다시 대입해 계산을 검산했다.
구의 중심을 바꾼 독립 검증
같은 모양을 단순히 반복하지 않도록 모든 점을 \((1,-1,2)\)만큼 평행이동한 새 조건을 사용했다.
\[ A'(2,0,3),\ B'(2,-2,1),\ C'(0,0,1),\ D'(0,-2,3) \]
이 네 점이 정사면체인지 확인하면
\[ A'B'^2=0^2+(-2)^2+(-2)^2=8, \qquad A'C'^2=(-2)^2+0^2+(-2)^2=8 \]
이고, 나머지 네 거리도 각각 \(8\)이다. 또한
\[ \overrightarrow{A'B'}=(0,-2,-2),\qquad \overrightarrow{A'C'}=(-2,0,-2) \]
이므로 내적은 \(4\), 두 벡터의 길이는 각각 \(2\sqrt2\)이다. 따라서
\[ \cos\angle B'A'C'=\frac{4}{8}=\frac12, \qquad \angle B'A'C'=60^\circ \]
중심이나 위치가 바뀌어도 거리와 내적은 변하지 않는다. 학생은 새 좌표에서도 한 모서리만 확인하지 않고 여섯 거리와 각 조건을 순서 없이 대조하여, 좌표의 절댓값보다 점 사이의 관계가 공간도형 판별의 핵심임을 확인했다.